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La fuerza boyante, fuerza de flotación o fuerza de empuje, es una fuerza que apunta en dirección contraria a la gravedad y que actúa sobre cualquier sólido que se encuentre parcial o totalmente sumergido en un fluido, sea este un líquido o un gas. Esta fuerza fue descubierta y caracterizada por primera vez por el matemático, físico e ingeniero griego Arquímedes en el siglo III a.C. y, según cuenta la historia, fue la causa del famoso grito de ¡Eureka! que tanto caracteriza al mencionado erudito helénico.
A pesar de que no tienen el mismo origen, podemos pensar en la fuerza boyante como la fuerza normal que ejercen los líquidos y otros fluidos sobre los cuerpos con los que entran en contacto.
¡Eureka! y el Principio de Arquímedes
Según cuenta el arquitecto romano Vitrubio, la fuerza de flotación fue descubierta por Arquímedes mientras estaba en la bañera. Arquímedes había sido encargado por el Rey Hieron de Siracusa para determinar si la corona que había encargado a sus orfebres estaba hecha de oro puro, o si, por el contrario, le habían engañado combinando el oro con plata o algún otro metal menos valioso.
Al parecer, Arquímedes pensó mucho en cómo resolver este problema sin ser capaz de encontrar la solución, hasta que un día, mientras se introducía en una bañera, notó que, al sumergirse en el agua, su cuerpo desplazaba parte del líquido haciéndolo caer por el borde. Se le ocurrió entonces lo que hoy en día conocemos como el Principio de Arquímedes: al sumergir un cuerpo en agua (o en cualquier otro líquido), este sentirá una fuerza de empuje que reducirá su peso en una magnitud equivalente al volumen de agua desplazado.
La diferencia entre el peso original del cuerpo y el peso del mismo sumergido en agua corresponde a la fuerza boyante o fuerza de flotación. En forma de ecuación, el principio de Arquímedes se puede escribir así:
Donde B representa la fuerza boyante (en algunos textos se representa como FB) y Wf corresponde al peso del fluido desplazado por el cuerpo sumergido.
Arquímedes sabía que el oro era un metal más pesado (más denso) que cualquier otro metal que los orfebres podrían utilizar para fabricar la corona, por lo que, si la corona estuviera fabricada de oro puro macizo, debería desplazar la misma masa de agua que cualquier otro objeto de oro macizo de igual masa, por lo que el peso aparente o reducido por la fuerza boyante debería ser el mismo para la corona y el objeto de control.
En cambio, si el oro estuviera mezclado con plata u otro metal, entonces, al ser menos denso, debería desplazar un volumen (y por lo tanto un peso) mayor de agua, obteniendo así un peso aparente menor que el del objeto de control (ya que la fuerza boyante será mayor).
Según el relato de Vitrubio, Arquímedes se emocionó tanto con la solución del problema que salió corriendo de su baño por las calles de Siracusa en dirección al palacio del rey gritando ¡Eureka! ¡Eureka! (que se traduce como «¡Lo tengo! ¡Lo tengo!») sin siquiera darse cuenta de que estaba completamente desnudo.
Explicación del Principio de Arquímedes
El Principio de Arquímedes se puede explicar fácilmente en función de las leyes de Newton. La forma de la ecuación del Principio de Arquímedes mostrada antes prueba que la fuerza boyante es independiente de las características del objeto sumergido ya que solo depende de la masa del fluido (no del objeto) desplazado. Es decir, no depende de la composición, densidad ni forma del cuerpo.
Entonces, la fuerza boyante que siente, por ejemplo, un cubo de madera, debe ser la misma que siente un cubo formado por el mismo fluido. Ahora, si imaginamos un cubo hecho del mismo fluido y que está sumergido, como el mostrado en la siguiente figura, es evidente que este estará en equilibrio mecánico con el líquido que le rodea (de lo contrario veríamos corrientes de agua formarse espontáneamente en cualquier vaso de agua). Según la primera ley de Newton, la única manera de que un cuerpo esté en equilibrio mecánico (es decir, en reposo o moviéndose a velocidad constante) es que no actúe sobre él ninguna fuerza neta. Esto solo puede ocurrir si no hay ninguna fuerza actuando sobre el cuerpo o si todas las fuerzas que actúan sobre él se cancelan unas con otras (su sumatoria vectorial es nula).
Como sabemos que el bloque de fluido tiene masa, debe entonces sentir la fuerza de la gravedad, por lo que, la única forma de que esté en equilibrio es que esté actuando sobre el bloque alguna otra fuerza que le empuje en dirección contraria. Esta fuerza debe ser la fuerza boyante que propuso Arquímedes.
Entonces, dado que las únicas dos fuerzas que actúan sobre nuestro bloque imaginario de fluido son su peso y la fuerza boyante, estas deben tener la misma magnitud y dirigirse en direcciones opuestas, por lo que la fuerza boyante del bloque de fluido es igual a su peso y apunta hacia arriba. Ahora, dado que esta fuerza es independiente de las características del objeto, si reemplazamos el bloque de fluido por un bloque de la misma forma y tamaño de cualquier otro material, la fuerza boyante que sentirá el nuevo bloque debe ser exactamente la misma que sentía el bloque de fluido que tuvimos que retirar para abrir espacio y poder colocar en su lugar el segundo bloque y esta fuerza es igual al peso de este fluido desplazado.
Origen de la fuerza de flotación
La fuerza de flotación se genera debido al aumento de la presión hidrostática a medida que nos sumergimos en un fluido. Esto se debe a que, al desplazarnos hacia abajo dentro de un fluido, aumenta la altura (y por lo tanto la masa) de la columna de fluido que tenemos encima, por lo que la presión aumenta de manera aproximadamente lineal con la profundidad (por lo menos en el caso de fluidos no compresibles).
La presión es la fuerza por unidad de área y esta se aplica de manera perpendicular a la superficie de contacto entre el cuerpo y el fluido. Esto quiere decir que cada sección de la superficie de un cuerpo sumergidos está sintiendo una presión que trata de aplastarle desde todas las direcciones. Como veremos a continuación, esta fuerza aplastante es mayor en la parte de debajo de un cuerpo sumergido que en la parte más cercana a la superficie.
Para ver cómo esto genera la fuerza boyante, consideremos la siguiente figura en la que se muestra un bloque de forma cúbica sumergido en un fluido cualquiera. Para simplificar el análisis, asumiremos que las tapas superior e inferior son paralelas a la superficie del agua (es decir, son perpendiculares a la vertical) y que las cuatro tapas laterales son perpendiculares a las primeras.
Como la presión ejerce una fuerza perpendicular a la superficie, habrá seis fuerzas resultantes distintas empujando una sobre cada una de las seis caras del cubo. Como las caras laterales son verticales, las fuerzas resultantes de la presión en ellas serán paralelas a la superficie del líquido y por lo tanto no contribuyen a la fuerza boyante que debe ser vertical (como vimos arriba). Así que solo necesitamos considerar las fuerzas sobre la tapa superior e inferior. La presión en la cara superior empuja al cuerpo hacia abajo, mientras que la presión en la cara inferior empuja hacia arriba.
Ahora, al comparar la presión sobre la cara superior, podemos constatar que esta se encuentra a una menor profundidad que la cara inferior. Como la presión es proporcional a la profundidad, entonces la presión en la cara superior debe ser menor que la presión que siente la cara inferior. Finalmente, como ambas caras tienen la misa área, entonces la fuerza relativa ejercida por la presión en ambas caras solo dependerá de la presión y concluimos que el cuerpo siente una mayor fuerza de empuje desde abajo que desde arriba. La sumatoria vectorial de estas dos fuerzas da una resultante que apunta hacia arriba y que corresponde a la fuerza boyante.
A pesar de que el análisis lo hicimos sobre un cuerpo con una forma muy simple, este mismo razonamiento se puede extrapolar a cualquier cuerpo con cualquier forma.
¿Dónde actúa la fuerza de flotación?
Como acabamos de ver, la fuerza de flotación es en realidad la resultante de la presión ejercida en la superficie de un cuerpo sumergido. Sin embargo, al igual que el peso es la suma de la fuerza de atracción que siente cada partícula que compone a un cuerpo y, aun así, podemos representar al peso por medio de un único vector que actúa sobre el centro de gravedad, lo mismo podemos hacer con la fuerza boyante.
Pero, ¿dónde colocamos esta fuerza?
La respuesta la hallamos nuevamente a partir de las leyes de Newton. El equilibrio mecánico de un cuerpo flotando en reposo sobre un líquido no solo implica que la fuerza neta sea nula, sino también que no exista torque o fuerza de torsión, ya que el cuerpo no está girando. Como consecuencia, la fuerza boyante no solo debe contrarrestar el peso para que el cuerpo no se acelere hacia arriba o hacia abajo, sino que además debe actuar sobre la misma línea de acción del peso. Por esta razón, podemos asumir que la fuerza boyante también actúa sobre el centro de masa.
Fórmulas de la fuerza boyante
A pesar de que la ecuación básica de la fuerza boyante es la propuesta por Arquímedes, esta puede manipularse de distintas maneras para obtener otras expresiones más útiles.
En primer lugar, por la Segunda Ley de Newton, sabemos que el peso del fluido desplazado es igual a su masa por la aceleración de la gravedad (W=m.g). Además, también sabemos que la masa se relaciona con el volumen a través de la densidad. La combinación de estas fórmulas con la anterior da los siguientes resultados:
Donde mf representa la masa del fluido desplazado, g es la aceleración de la gravedad, ρf es la densidad del fluido y Vf es el volumen del fluido desplazado.
Además, también podemos expresar la fuerza boyante en función del peso aparente de un cuerpo sumergido en un fluido:
Donde Wreal es el peso real del cuerpo sumergido que es aproximadamente igual a su peso en aire mientras que Waparente es el peso reducido que sentiríamos al tratar de levantar el cuerpo cuando este está sumergido.
Por otro lado, la ecuación 3 también puede expresarse en función del volumen del cuerpo sumergido, ya que el volumen desplazado del fluido debe ser igual al volumen de la fracción del cuerpo que se encuentra sumergido. Esto da origen a dos casos distintos:
Fuerza boyante en cuerpos totalmente sumergidos
Si un cuerpo de volumen Vo está totalmente sumergido, entonces el volumen desplazado del líquido será igual al volumen del cuerpo. Así, la ecuación 3 queda:
Fuerza boyante en cuerpos parcialmente sumergidos
Si, por el contrario, solo una fracción del cuerpo se encuentra sumergida, entonces el volumen de fluido desplazado será igual a la parte del volumen del cuerpo que se encuentre sumergido (Vs):
Fórmula para cuerpos flotantes
Finalmente, tenemos el caso especial en el que un cuerpo flota en la superficie de un fluido, sustentado únicamente por la fuerza boyante. En este caso, podemos decir que el peso aparente del cuerpo es cero y que, por lo tanto, la fuerza boyante es exactamente igual al peso real del cuerpo (conclusión a la que también podríamos haber llegado por un simple análisis de fuerzas en un diagrama de cuerpo libre). En este caso, solo una parte del volumen del cuerpo se encuentra sumergida, así que también aplica la ecuación 5.
Entonces, combinando esto con las fórmulas de peso del cuerpo, podemos llegar a la siguiente ecuación:
Donde ρc es la densidad del cuerpo y las demás variables son las mismas que antes. Esta ecuación permite hallar fácilmente la fracción sumergida de un cuerpo flotante cualquiera a partir de la relación entre su densidad y la del fluido en el que flota.
Ejemplos de cálculos con la fuerza boyante
Ejemplo 1: Icebergs o témpanos de hielo
La expresión “solo la punta del iceberg” hace referencia al hecho de que la parte de un témpano de hielo que nosotros podemos ver sobre la superficie del agua es tan solo una pequeña fracción de la masa total del témpano. Pero ¿de cuánto es exactamente esta fracción? Esto lo podemos calcular a partir de la ecuación 6. La información adicional que necesitamos es que la densidad del hielo a 0 °C es de 0,920 g/mL y la del agua de mar es de aproximadamente 1,025 g/mL ya que se trata de agua salada y fría que es más densa que el agua pura.
Datos:
ρc = 0,920 g/mL
ρf = 1,025 g/mL
Fracción de hielo que sobresale = ?
Solución:
A partir de la ecuación 7 tenemos que:
Recordemos que esta es la fracción del volumen de un cuerpo flotante que se encuentra sumergida, por lo que este resultado indica que el 89,76% del volumen del témpano de hielo se encuentra bajo el agua. Al mismo tiempo, implica que tan solo el 10,24% es lo que vemos sobre la superficie.
Ejemplo 2: La corona de Hieron
Supongamos que Arquímedes toma la corona del Rey Hieron y la pesa en el aire, obteniendo así un peso de 7, 45 N. Luego, ata la corona a un hilo delgado y la sumerge en agua (cuya densidad es de 1,00 g/mL) mientras registra el peso con una báscula que ahora marca 6,86 N. Sabiendo que la densidad del oro es de 19,30 g/mL y que la de la plata es de 10,49 g/mL, ¿habrá el orfebre engañado al Rey Hieron?
Datos:
Wreal = 7,45 N
Waparente = 6,86 N
ρf = 1,00 g/mL
ρoro = 19,30 g/mL
ρplata = 10,49 g/mL
ρcorona = ?
Solución:
La densidad es una propiedad intensiva y característica de una sustancia, así que, para responder a la pregunta en cuestión, lo que debemos hacer es determinar la densidad de la corona. Si la corona está fabricada de oro macizo, debe tener la misma densidad del oro. De no ser así y de estar mezclado el material con plata, la corona tendrá una densidad mucho menor.
Por otro lado, tenemos el peso real y peso aparente. Además, sabemos que la corona está completamente sumergida en el agua cuando se determina el peso aparente, por lo que podemos utilizar las ecuaciones 4 y 5. Estas además las podemos combinar con las ecuaciones de peso real como función del volumen del cuerpo y su densidad.
Comencemos por determinar la fuerza boyante:
Luego, dado que la corona está sumergida por completo, tenemos que la fuerza boyante es igual a:
Esta ecuación la podemos combinar con la ecuación de la densidad de la corona y la ecuación del peso obtenida de la segunda ley de Newton:
Para así obtener la siguiente ecuación:
Luego, resolviendo la ecuación para hallar la densidad de la corona, tenemos:
Considerando que la densidad del oro es 19,30 g/mL, es evidente que han engañado al Rey. O bien la corona está hueca, o no es de oro puro.
Ejemplo 3: Un cubo parcialmente sumergido
Un cubo con un volumen de 2,0 cm3 se sumerge hasta la mitad en agua. ¿Cuál es la fuerza de flotación que experimenta el cubo?
Datos
V0 = 2,0 cm3
Vs = ½ V0
ρf = 1,00 g/mL
B = ?
Solución:
Tenemos la densidad del fluido porque sabemos que es agua y que la densidad del agua es de 1,00 g/cm3. Además, nos proporcionan el volumen del cubo, así como la fracción del mismo que está sumergida, por lo que podemos aplicar la ecuación 5 directamente. Sin embargo, debemos considerar que, como estamos calculando una fuerza, si queremos que el resultado de en N, debemos llevar a cabo algunas conversiones de unidades:
Por lo tanto, la fuerza boyante será de 0,0098 N.
Ejemplo 4: Un cubo desconocido
Un cubo con un volumen de 2,0 cm3 flota sobre el agua dejando encima de la superficie la cuarta parte de su volumen. ¿Cuál es la densidad del cubo?
Datos:
V0 = 2,0 cm3
Vsobre la superficie = ¼ V0
ρf = 1,00 g/mL
ρcubo = ?
Solución:
Nuevamente, tenemos la densidad del fluido porque sabemos que es agua. Nos proporcionan en este caso la fracción del volumen que sobresale, pero la que necesitamos es la que está sumergida, la cual es, por lo tanto, ¾ de V0. Finalmente, nos indican que el cubo flota libremente, así que podemos aplicar directamente la ecuación 6:
Así, sabemos entonces que el cubo tiene una densidad de 0,750 g/cm3.
Referencias
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González Sánchez, J. A. (s. f.). Fuerza Boyante y el Principio de Arquímides. PhysicsPR. https://physicspr.com/buyont.html
Jewett, J. W., & Serway, R. A. (2006). Fisica Para Ciencias E Ingenierias – Volumen I. Thomson International.
Khan Academy. (s. f.). ¿Qué es la fuerza de flotación? https://es.khanacademy.org/science/physics/fluids/buoyant-force-and-archimedes-principle/a/buoyant-force-and-archimedes-principle-article
Órganos de Palencia. (2021, 23 diciembre). ¿Cómo determinar la fuerza boyante? https://organosdepalencia.com/biblioteca/articulo/read/16377-como-determinar-la-fuerza-boyante
Ross, R. (2017, 26 abril). Eureka! The Archimedes Principle. Livescience.Com. https://www.livescience.com/58839-archimedes-principle.html
Zaragoza Palacios, B. G. (s. f.). FÍSICA GENERAL. Universidad de Sonora. http://paginas.fisica.uson.mx/beatriz.zaragoza/archivos/05a-fisicageneral.pdf
