Tabla de Contenidos
В математиката простите числа са една от често срещаните теми при изучаване на цели числа. Тъй като простите числа са безкрайни, интересно упражнение за практикуване с тях е да разберете каква е вероятността произволно избрано число от 1 до X да е просто число.
Какво представляват простите числа
Простите числа са тези, които се делят само на 1 и на себе си, тоест на въпросното число. Това означава, че когато се раздели на друго число, резултатът не дава цяло число. Също така се счита, че има безкраен брой прости числа.
За разлика от простите числа, съставните числа са тези, които могат да бъдат разделени на 1, на себе си и на други числа.
Числото 1 не се счита за просто число, нито е съставно число.
Простите числа и ситото на Ератостен
За да намери бързо всички прости числа, гръцкият математик Ератостен (3 век пр. н. е.) създава бърз начин за достигане на всички прости числа до определено число. Този метод е известен като „ситото на Ератостен“.
Ситото на Ератостен е алгоритъм, който позволява познаването на всички прости числа, по-малки от дадено естествено число. За целта се създава таблица с всички естествени числа между 2 и избраното число (n). В този пример n е 100.
След това числата, които не са прости, се задраскват. Първо започнете с 2 и задраскайте всичките му кратни. Когато се намери незачертано число, всички негови кратни се задраскват и т.н. Тази процедура приключва, когато се получи квадрат на следващото число, потвърдено като просто, което е по-голямо от „n“.
С помощта на ситото на Ератостен ще получим 25 прости числа между 0 и 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Други примери за прости числа
Други примери за прости числа между 100 и 1000 са: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 и 997.
проблем с простите числа
Както почти винаги се случва в математиката, най-добрият начин да разберете как се изчисляват простите числа е да решавате задачи. Сега нека видим една проста задача, за да разберем с каква вероятност можем да изберем просто число.
Първо ще изберем положително цяло число, което може да бъде 1, 2, 3 и т.н., до определено число X. След това трябва произволно да изберем едно от тези числа. Това означава, че всички X числа имат вероятност да бъдат избрани.
Решението на този проблем е просто за числата X, които са ниски. Проблемът се решава чрез следните стъпки:
- Първа стъпка:
- Пребройте броя прости числа, които са по-малки или равни на X.
- Втора стъпка:
- Разделете броя на простите числа, по-малки или равни на X, на самото число X. Тоест, ако искаме да знаем вероятността да изберем определено просто число от 1 до 10, трябва да разделим броя на простите числа на 10.
Например, за да намерим вероятността да бъде избрано просто число от 1 до 10, трябва да разделим броя на простите числа на 10. Тъй като има 4 прости числа от 1 до 10: 2, 3, 5, 7, вероятността да изберем a простото число е: 4/10 = 0,4, тоест 40%.
По същия начин, ако искаме да знаем какви са вероятностите да бъде избрано просто число от 1 до 50, може да се извършат предишните стъпки. Преброяваме простите числа, по-малки от 50, които са 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 47. И разделяме тази сума на 50: 15 /50 = 0,3, тоест 30%. Следователно има 30% шанс да изберете просто число от 1 до 50.
Каква е теоремата за простите числа
Друг начин да знаете простите числа до определено число и да изчислите вероятността да изберете едно от тях е да използвате теоремата за простите числа . Тази теорема е формулирана от немския математик Гаус през 18 век и демонстрирана почти век по-късно от други математици, като французина Жак Адамар и белгиеца Шарл-Жан дьо ла Вале Пусен.
Теоремата за прости числа гласи, че има приблизително X / ln(X) прости числа, които са по-малки или равни на X. В това твърдение:
- ln(X): е натурален логаритъм от X.
- X: е числото, до което искаме да знаем простите числа.
С нарастването на стойността на X относителната грешка между броя на простите числа, по-малък от X, и твърдението X / In(X) намалява.
Как да приложим теоремата за простите числа
С теоремата за простите числа можем да решаваме задачи, подобни на предишната, особено ако искаме да знаем простите числа сред по-големи количества числа.
По теоремата за простите числа знаем, че има приблизително X/ln(X) прости числа, които са по-малки или равни на X. Освен това има общо X положителни цели числа, по-малки или равни на X. Следователно вероятността че произволно избрано число в този диапазон е просто е: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).
Например, можем да използваме този резултат, за да изчислим приблизително вероятността за произволен избор на просто число сред първите милиони цели числа.
За да направим това, трябва да изчислим натурален логаритъм от милион. Следователно имаме:
P(1 000 000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1 000 000) = 1 / ln(1 000 000)
Така че получаваме ln(1 000 000) = 13,8155 и 1 / ln(1 000 000) е приблизително 0,07238. Следователно имаме приблизително 7,238% шанс да изберем на случаен принцип просто число от първите милиони цели числа.
Библиография
- Лопес Матеос, М. Основи на математиката. (2017). Испания. CreateSpace.
- dk. Книгата по математика. (2020 г.). Испания. dk.
- Gracian, E. Прости числа: дълъг път към безкрайността. (2010). Испания. Книги на RBA.
