Какви са реалните числа?

Числата имат различни свойства и могат да бъдат класифицирани в различни групи. Една от тези групи, с широко приложение в различни клонове на математиката, са реалните числа. За да ги разберем по-добре, нека първо да видим какви са различните видове числа.

Числата

Първото нещо, което научаваме за числата , е как да ги използваме за броене; започваме със съпоставянето им с пръсти, за да извършваме прости операции. Така нашите десет пръста са основата на десетичната система. Оттам нататък преброяваме възможно най-големи количества и отбелязваме, че числата са безкрайни. И така, добавяйки нула (0), когато няма какво да броим, се образуват естествените числа.

С естествените числа извършваме аритметични действия и когато изваждаме друго число от число, трябва да въведем отрицателните числа. И така, добавяйки отрицателните числа към естествените, получаваме набора от цели числа.

Сред аритметичните операции, които извършваме с числата, е делението. И откриваме, че има случаи, в които при деление на едно число на друго резултатът не е цяло число; В много случаи този резултат от деленето може да бъде точно представен само от самия израз за делене, тоест дроб. Така се изгражда множеството от рационални числа, в което всички числа са записани като дроб, а целите числа имат знаменател 1.

Древните цивилизации са забелязали, че има числа, които не могат да бъдат представени като дроби. При работа с геометрични фигури откриха числото пи, връзката между радиуса и дължината на окръжност, число, което не може да се изрази като частно между две цели числа. Такъв е и случаят с корен квадратен от числото 2 (тоест числото, което умножено по себе си, ще даде числото 2 като резултат). И има много числа, които се появяват в различни области на знанието, които не са част от набора от рационални числа. Тези числа, които не могат да бъдат точно представени като частно от две цели числа, се наричат ​​ирационални числа. Тогава наборът от рационални и ирационални числа представлява набор от реални числа.

Реалните числа са част от още по-голям набор от числа: комплексните числа. Това разширение на набора от реални числа възниква, когато искаме да изчислим корен квадратен от отрицателно число; Тъй като произведението на две отрицателни числа винаги е положително, няма реално число, което умножено по себе си да е отрицателно. След това въображаемото число i се дефинира , което представлява корен квадратен от -1, и възниква множеството от комплексни числа.

десетично представяне

Всички числа могат да бъдат изразени в десетична форма; Например рационалното число 1/2 може да бъде изразено в десетична форма като 0,5. За разлика от рационалното число 1/2, което може да бъде точно представено с един десетичен знак, други рационални числа имат безкраен брой десетични знаци и неТе могат да бъдат изразени точно с десетично представяне. Това е случаят с числото 1/3; Неговото десетично представяне е 0,33333…, с безкраен брой десетични знаци. Тези рационални числа се наричат ​​периодични десетични числа, тъй като във всички случаи има последователност от числа, която се повтаря безкрайно много пъти. В случая на числото 1/3 тази последователност е 3; в случая на числото 1/7 десетичната му форма е 0,1428571428571…, а последователността, която се повтаря безкрайно, е 142857. Ирационалните числа не са периодични десетични числа; няма последователност, която да се повтаря безкрайно много пъти в нейното десетично представяне.

Визуално представяне

Реалните числа могат да бъдат визуализирани чрез свързване на всяко от тях с една от безкрайно много точки по права линия, както е показано на фигурата. В това графично представяне се намира числото pi, чиято стойност е приблизително 3,1416, числото e , което е приблизително 2,7183, и корен квадратен от числото 2, приблизително 1,4142. От числото 0 вдясно са разположени положителните реални числа в нарастваща форма, а вляво отрицателните, увеличавайки абсолютната си стойност в тази посока.

Някои свойства на реалните числа

Реалните числа се държат като цели числа или рационални числа, с които сме по-запознати. Можем да ги събираме, изваждаме, умножаваме и разделяме по същия начин; единственото изключение е делението с числото 0, операция, която не е възможна. Редът на събиранията и умноженията не е важен, тъй като комутативното свойство все още е в сила, а разпределителното свойство се прилага по същия начин. По същия начин две реални числа x и y са подредени по уникален начин и само едно от следните отношения е правилно:

x = y , x < y или x > y

Реалните числа са безкрайни, точно както целите числа и рационалните числа. По принцип това е очевидно, тъй като и целите числа, и рационалните са подмножества на реалните числа. Но има разлика: в случай на цели числа и рационални числа се казва, че те са изброимо безкрайни числа; вместо това реалните числа са безкрайно безбройни.

Едно множество се нарича изброимо или изброимо, когато всеки от неговите компоненти може да бъде свързан с естествено число. Асоциацията е очевидна в случай на цели числа; в случай на рационални числа може да се разглежда като връзка с двойка естествени числа, числителя и знаменателя. Но това свързване не е възможно в случай на реални числа.

Източници

• Ариас Кабесас, Хосе Мария, Маза Саес, Илдефонсо. Аритметика и алгебра . В Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Математика 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Мадрид, 2008 г.
• Карлос Ивора. Логика и теория на множествата . 2011 г.