Tabla de Contenidos
Логиката е клон на математиката и част от нея е теория на множествата. Законите на Де Морган са два постулата за взаимодействието между множества. Тези закони записват предшественици в Аристотел и Уилям от Окам. Август Де Морган е живял между 1806 и 1871 г. и е първият, който включва постулираните от него закони във формалната структура на математическата логика.
Оператори в теорията на множествата
Преди да преминем към постулатите на Де Морган, нека разгледаме някои дефиниции на теорията на множествата.
Ако има две групи от елементи, които ще наричаме A и B, пресечната точка на тези две групи е групата от елементи, общи за двете групи. Пресечната точка на две множества се обозначава със символа ∩ и е друго множество, което можем да наречем C; C = A∩B и C е множеството от елементи, които се появяват както в група A, така и в група B. По същия начин обединението на две множества A и B е ново множество, съдържащо всички елементи на A и B, и се отбелязва с символът U. Множеството C, обединение на A и B, C = AUB, е множество, което е интегрирано с всички елементи на A и B. Третата дефиниция, която трябва да запомним, е допълнение към множество: ако имаме определена вселена от елементи и множество A на тази вселена, допълнението на A е множеството от елементи на тази вселена, които не принадлежат на множеството A. Допълнителното множество на A се означава като A C .
Тези три оператора между множества могат да бъдат обобщени до операцията между няколко множества, тоест до пресичане, обединение и допълнение на няколко множества. Нека да разгледаме един прост пример. Следващата фигура показва диаграмата на Вен от три групи: птиците, представени от папагала, щрауса, патицата и пингвина; живите същества, които летят, представени от папагала, патицата, пеперудата и летящата риба, и живите същества, които плуват, представени от патицата, пингвина, летящата риба и кита. Патицата е пресечната група на трите групи: обединената група от птици и живи същества, които летят, се състои от щраус, папагал, пеперуда, патица, пингвин и летяща риба. И допълнението на живите същества, които летят и тези, които плуват, е комплектът, който съдържа щрауса.
Законите на Де Морган
Сега можем да видим постулатите на законите на Де Морган. Първият постулат гласи, че допълнението на пресечната точка на две множества A и B е равно на обединението на множеството на допълнението на A и допълнението на B. Използвайки операторите, дефинирани в предходния параграф, първият закон на Де Морган може да бъде написан по следния начин:
(A∩B) C = A C UB C
Вторият закон на Де Морган постулира, че допълнението на обединеното множество на A и B е равно на пресечната точка на допълващото множество на A с допълващото множество на B и се отбелязва, както следва:
(AUB) C = A C ∩ B C
Да видим един пример. Разгледайте набора от цели числа от 0 до 5. Това се означава като [0,1,2,3,4,5]. В тази вселена ние дефинираме две множества A и B. A е множеството от числа 1, 2 и 3; A = [1,2,3]. YB е набор от числа 2, 3 и 4; B = [2,3,4]. Първият закон на Де Морган ще се прилага, както следва.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
Първият закон на Де Морган: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Резултатът от прилагането на операторите от двете страни на равенството показва, че първият закон на Де Морган е проверен. Нека видим приложението на примера към втория постулат.
Втори закон на Де Морган: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Както при първия постулат, в дадения пример важи и вторият закон на Де Морган.
Източници
AG Хамилтън. Логика за математици. Editorial Paraninfo, Мадрид, 1981 г.
Карлос Ивора Кастило. Логика и теория на множествата . Достъп през ноември 2021 г
