Пример за изчисляване на стандартното отклонение на популацията

Стандартното отклонение на популацията е един от най-важните параметри на популацията за измерване на променливостта или дисперсията на данните в популацията. Като всеки параметър в статистиката, той се представя с гръцка буква, в този случай буквата σ (сигма). Това позволява лесното му разграничаване от стандартното отклонение на извадката(ите), което, макар и сходно, не е същото, нито се изчислява със същите формули.

След това ще видим, чрез пример, различни начини за изчисляване на стандартното отклонение на популация. Трябва да се отбележи, че за да се изчисли стандартното отклонение на населението , е важно да се знаят всички данни за населението. Това рядко се случва в реален контекст, но все пак е важно да се разбере как се изчислява, тъй като помага да се разберат някои от математическите характеристики на този важен параметър.

Формули за стандартно отклонение на населението

В зависимост от наличните данни, стандартното отклонение на популацията може да се определи с помощта на три различни формули.

Математическа дефиниция на стандартното отклонение на популацията

Стандартното отклонение се определя като корен квадратен от дисперсията, σ ² . Тоест, ако знаем дисперсията на популацията, можем да изчислим стандартното отклонение, като използваме следното уравнение:

Този случай се случва рядко, но е добре да се има предвид.

Други формули за стандартно отклонение на популацията

Ако вместо да знаем дисперсията на съвкупността, знаем всичките N елемента от данни, които я съставляват, тогава можем да изчислим стандартното отклонение на популацията като квадратен корен от средната стойност на квадратните отклонения от средната стойност. Тоест:

В това уравнение x _i представлява стойността на всеки елемент от данни в популацията, N представлява броя на елементите с данни в популацията (или размера на популацията, което е същото), а μ е средната стойност на популацията. Обърнете внимание, че средната стойност на популацията също е представена с гръцка буква, тъй като това е друг параметър на популацията и размерът на популацията е представен с N (главна буква), за да се разграничи от n, което обикновено се свързва с размера на извадката .

Средната популация, μ, се дава от:

Уравнение 2 може да бъде разширено, пренаредено и опростено, за да се получи:

В случай че няма индивидуални данни за популацията, а данни, групирани в честотна таблица, предишните формули са леко модифицирани, за да дадат:

В горните уравнения количеството, което се намира в корена, не е нищо повече от дисперсията на популацията. Уравнение 4 има предимството да бъде установено изключително по отношение на данните за населението, а не на някакъв параметър на населението, както в случая с уравнения 2 и 5.

Пример за изчисляване на стандартното отклонение на популацията

Да предположим, че искаме да определим променливостта в теглото на конкретен модел автомобил, за който е известно, че съществуват само 20 екземпляра в целия свят. Данните за теглото в килограми на тези 20 автомобила са представени в следната таблица:

Тъй като знаем, че има само 20 автомобила от този модел, те представляват цялата популация, така че имаме всички данни, необходими за определяне на стандартното отклонение на популацията. Нека да разгледаме три различни начина за определяне на това стандартно отклонение.

Метод 1: Изчисление въз основа на определението за дисперсия

Този метод се основава на използването на уравнение 2, представено по-горе. Както виждаме, уравнението изисква използването на средната популация и друга поредица от изчисления, които са описани подробно по-долу:

Стъпка 1: Определете средната стойност на популацията

Средната стойност на съвкупността или μ се изчислява посредством уравнение 3, като се добавят всички данни и се разделят на общия брой данни, който в този случай е 20.

Стъпка 2: Изчислете отклоненията от средната стойност

Тази стъпка включва изчисляване на изважданията (x _i – μ). Например:

x ₁ – μ = 410 – 400,35 кг = 9,65 кг

x ₂ – μ = 408 – 400,35 кг = 7,65 кг

x ₃ – μ = 408 – 400,35 кг = 7,65 кг

…

X ₂₀ – μ = 400 кг – 400,35 кг = – 0,35

Резултатите са представени в следната таблица:

Стъпка 3: Квадратирайте всички отклонения от средната стойност

(x ₁ – μ) ² = (9,65) ² = 93,1225 kg ²

(x ₂ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

(x ₃ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

…

(x ₂₀ – μ) ² = (– 0,35) ² = 0,1225 kg ²

Резултатите са представени в следната таблица:

Стъпка 4: Добавете всички отклонения на квадрат

Стъпка 5: Приложете формулата на уравнение 2

Сега, когато имаме тази сума, всичко, което остава, е да заменим тази стойност, както и броя на данните, който е 20, в уравнение 2:

Така получаваме, че стандартното отклонение на теглото на популацията от 20 автомобила е приблизително. 6,5 кг.

Метод 2: Използване на пренареденото уравнение

Сега ще извършим същото изчисление, но използвайки уравнение 4, което е еквивалентно на уравнението, което току-що използвахме, но е по-практично, особено ако работите с по-голям брой данни. Основното предимство е, че не е необходимо да се изчислява допълнителен параметър (средната популация), за да могат да се изчислят отклоненията, а всичко се изчислява въз основа на оригиналните индивидуални данни. Освен това в нито един момент не е необходимо да работите с отрицателни числа, които са основен източник на грешки сред учениците.

Стъпка 1: Изчислете квадрата на всяка отделна информация

Тоест, извършват се следните изчисления:

(x ₁ ) ² = (410) ² = 168 100 kg ²

(x ₂ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

(x ₃ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

…

(x ₂₀ ) ² = (400) ² = 160 000 kg ²

Резултатите са представени в следната таблица:

Стъпка 2: Добавете всички индивидуални данни

Стъпка 3: Добавете всички квадрати

Стъпка 4: Приложете формулата на уравнение 4

Последната стъпка е да въведете тези две стойности и броя на данните в уравнение 4, за да получите стандартното отклонение на популацията:

Метод 3: Използване на електронни таблици

Електронни таблици като Microsoft Excel, Apple Numbers или Google Sheets включват сред основните си функции директното изчисляване на стандартното отклонение (както извадка, така и популация). Тези функции приемат набор от данни като аргумент и извършват всички изчисления, показани в предишния метод, за да върнат директно стандартното отклонение в клетката, където е въведена формулата.

Процедурата е следната:

Стъпка 1: Въведете данните в електронната таблица

Можем да въведем данните под формата на колона, ред или матрица навсякъде в електронната таблица. Следната екранна снимка показва как изглеждат данните за този проблем в Excel 2016.

Стъпка 2: Използвайте формулата, за да изчислите стандартното отклонение

След като данните бъдат добавени, ние използваме функцията за стандартно отклонение, като поставяме клетките, където се намират данните, като аргументи.

За да извикаме функция в електронна таблица, обикновено започваме с въвеждане на знака за равенство (=), последван от името на функцията, която искаме да използваме. Имената се променят леко от едно приложение на друго и в някои случаи също се променят в зависимост от езика, на който работите.

В случая на Excel (испанска версия), функцията за изчисляване на стандартното отклонение на популацията се нарича STDEV.P, докато в Google Таблици е STDEVP (без точката). След това трябва да въведете аргумента(ите) на функцията между скоби. В нашия пример ние предаваме като аргумент диапазона от клетки, в които се намират данните (вариращи от клетка A3 до J4).

С натискане на ENTER програмата изпълнява функцията и изчислява стандартното отклонение на съвкупността, като представя резултата в съответната клетка, както е показано по-долу:

Както виждаме, всеки от трите метода, практикувани тук, дава същия резултат. Това са просто различни начини да се направи едно и също нещо.

други методи

В допълнение към трите метода, споменати по-горе, научните и финансови калкулатори също често имат функция за определяне на стандартното отклонение на набор от данни, независимо дали е извадка или популация. Начинът, по който се въвеждат данните и получените резултати, варира от производител до производител и дори от един модел на калкулатор до друг, така че е непрактично да се показват конкретните стъпки за това тук.

Вместо това ще обсъдим най-важните общи стъпки, без да се задълбочаваме в тях. Всеки, който желае да използва тази функция на своя научен калкулатор, трябва да се обърне към ръководството за потребителя, предоставено с калкулатора, или да го потърси онлайн, за да определи конкретната клавишна комбинация във всеки случай.

Стъпка 1: Изчистете паметта

При много калкулатори съхранените преди това данни не се виждат. Ако въведем данни за други, които вече са съхранени, без да го осъзнаваме, калкулаторът ще даде грешен резултат. За да сте сигурни, че това няма да се случи, препоръчително е да изчистите цялата памет на калкулатора (или поне режима на статистически анализ), преди да започнете да въвеждате нови данни.

Стъпка 2: Достъп до режим на статистика

Функциите за изчисляване на стандартното отклонение са част от режима „Статистика“, „Статистика“ или просто „S“ на повечето калкулатори, така че трябва да започнем, като влезем в този режим на работа.

Стъпка 3: Въведете данните

Това варира от един калкулатор до друг. В някои случаи данните могат да се добавят под формата на таблица, докато в други данните се въвеждат една по една след натискане на клавиша DT (или DAT). Важно е да проверите броя на въведените данни в края на тази стъпка, за да сте сигурни, че няма липсващи.

Стъпка 4: Изчислете стандартното отклонение на популацията

След като данните са въведени, остава само да поискаме от калкулатора резултата, който търсим. В много калкулатори стандартните отклонения както на извадката, така и на съвкупността са представени със символа σ (въпреки че това е грешка в случай на отклонение на извадката). Въпреки това можем да различим отклонението на извадката от отклонението на съвкупността, тъй като отклонението на извадката е придружено от n-1 (тоест се появява като σ _n-1 ), докато отклонението на популацията се появява като s _n . Това се отнася до факта, че при изчисляването на стандартното отклонение на извадката то се дели на n-1 вместо на n, както е в популацията.

Препратки

Devore, JL (2019). Вероятност и статистика (1- ^{во издание} ). Cengage Learning.

MateMobile. (2021 г., 1 януари). Дисперсия и стандартно отклонение за групирани данни | матермобил . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Техническа поддръжка на Google. (nd). STDEV (STDEV) – Помощ за редактори на Google Документи . Google – Помощ за редакторите на Google Документи. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=bg-419

Суперпроф. (nd). Стандартно отклонение . Математически речник | Суперпроф. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.цифров. (nd). Стандартно отклонение за групирани данни . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo