Правилото за допълване в статистиката

В статистиката и вероятността правилото за допълване установява, че вероятността всяко събитие А да се случи винаги ще бъде равна на единица минус вероятността да се случи противоположното или допълващо събитие на А. С други думи, това е правило, което показва, че вероятностите за събитие и неговото допълнение са свързани чрез следния израз:

Това правило е едно от основните свойства на вероятността и ни казва, че винаги можем да изчислим вероятността за всяко събитие, ако знаем вероятността за неговото допълнение и обратно. Това е особено важно, тъй като в много ситуации от реалния свят, когато трябва да изчислим вероятността за дадено събитие, е много по-лесно вместо това да изчислим директно вероятността за неговото допълнение. След това, след като това бъде изчислено, използваме правилото за допълване, за да определим вероятността, която искахме първоначално.

Някои прости примери за прилагането на това правило са:

• Ако вероятността Реал Мадрид да спечели футболен мач от Шампионска лига е 34/57 или 0,5965, вероятността да не спечелят мач от Шампионска лига е 1-34/57 = 23/57 или 0,4035.
• Вероятността обикновен 6-странен зар да попадне на четно число, по-малко от 6, е 1/3, така че вероятността зарът да не попадне на четно число, по-малко от 6, е 2/3.

Доказателство за правилото за допълнение

Правилото за допълване може да се демонстрира по няколко различни начина, всеки от които ще улесни запомнянето от читателя. За да направим тази демонстрация, трябва да започнем с дефиниране на някои основни термини, като например какво е събитие и какво е неговото допълнение. Освен това трябва да посочим някои от основните аксиоми, на които се основава вероятността.

Експерименти, резултати, пробно пространство и събития

В статистиката и вероятността говорим за извършване на експерименти , като хвърляне на монети, хвърляне на зарове, избор на карта или тесте от произволно разбъркано тесте и т.н. Всеки път, когато провеждаме експеримент, получаваме резултат , като например избиране на 2 куполи от тестето испански карти за игра.

Общият набор от всички възможни различни резултати, които един експеримент може да даде, се нарича пробно пространство и обикновено се представя с буквата S.

От друга страна, определен резултат или набор от резултати от експеримента е известен като събитие . Събитията могат да бъдат отделни резултати, в който случай те се наричат ​​прости събития, или могат да бъдат съставни събития, които са съставени от повече от един елемент или резултат.

Какво представлява плъгинът на събитие?

Допълнението към едно събитие не е нищо повече от набор от всички други възможни резултати в примерното пространство, които не включват резултатите от самото събитие . В случая с примера с хвърляне на зар, допълнението към събитието, при което зарът попада на 5, например, е друго събитие, в което зарът попада на 1, 2, 3, 4 или 6, или каквото и да е друго. Същото е, не попада в 5.

Приставките често са представени по различни начини. Двата най-често срещани начина са:

• Поставяне на наклонена черта над името на събитието (например A̅ представлява допълнението на събитие A).
• Поставяне на C като горен индекс (A ^C ).

И в двата случая се чете „A-допълнение“, „допълнение към A“ или „Не A“.

Един лесен начин да разберете както концепцията на приставката, така и самото правило на приставката е чрез използване на диаграми на Venn . Следващата фигура показва проста диаграма на всеки експеримент и едно събитие, което ще наречем A.

В диаграмите на Venn като тази, целият правоъгълник представлява пространството на извадката на експеримента, докато цялата площ на правоъгълника (в този случай и двете сиви и сини зони) представлява вероятността от пространството на извадката, което, от определение , е равно на 1. Това е така, защото, ако проведем експеримент, е абсолютно сигурно, че ще бъде получен някакъв резултат, съдържащ се в пространството на извадката, тъй като то съдържа всички възможни резултати.

Синият кръг обхваща зоната на пространството за показване, в която се предполага, че са всички възможни резултати от събитие А. Например, ако събитие А хвърля четно число, тогава тази синя област трябва да съдържа резултатите 2, 4 и 6 От друга страна, цялата област, която е извън събитието A (т.е. сивата зона), е допълнение към A, тъй като съдържа другите резултати (1, 3 и 5).

Правилото на комплемента и диаграмите на Вен

Ключ към разбирането на правилото за допълване с помощта на диаграми на Venn е, че площта на всяко събитие в тези диаграми е пропорционална на неговата вероятност; общата площ на правоъгълника съответства на вероятност от 1. Както можем ясно да видим, събитието A (син кръг) и неговото допълнение A̅ (сива зона) заедно образуват целия правоъгълник.

Поради тази причина сумата от техните площи, които представляват съответните им вероятности, трябва да бъде равна на 1, което е площта на пробното пространство, S. Пренареждайки това, ще получим:

Това е правилото за допълване.

Правилото за допълнение от аксиомите на вероятността

Всяко събитие и неговото допълнение образуват двойка несвързани или взаимно изключващи се събития, тъй като ако едното се случи, по дефиниция е невъзможно другото да се случи. При тези условия вероятността за обединение на тези две събития просто се дава от сбора на отделните вероятности. Тоест:

Освен това, както казахме преди, обединението на събития A и неговото допълнение A ^C води до примерното пространство:

Замествайки P(AUC ^C ) в горното уравнение и след това замествайки вероятността за S, която по дефиниция е 1, получаваме:

Пренареждайки последните два члена, получаваме правилото за допълване.

Пример за проблем с прилагане на правило за приставка

По-долу е пример за типичен проблем, при който използването на правилото на плъгина е особено полезно.

изявление

Да предположим, че имаме верига, съставена от 5 еднакви чипа, свързани последователно, тоест един след друг. Вероятността един чип да се повреди през първата година от производството му е 0,0002. Ако някой от 5-те чипа се повреди, цялата система се проваля. Искате да намерите вероятността системата да се провали през първата година.

Решение

Нека наречем F (за отказ) резултата, при който компонент или системен чип се проваля и E (успех) за резултата, при който компонентът не се проваля или, което е същото, работи. Тогава данните, предоставени от изявлението, са:

Експериментът, при който се установява дали цялата система е повредена, всъщност съответства на провеждането на 5 едновременни експеримента, в които се установява дали някой от компонентите е повреден. И така, примерното пространство за този експеримент се състои от всички комбинации от успешни или неуспешни резултати за всеки от 5-те компонента. Тъй като сме свързани последователно, знаем, че редът има значение. Следователно пробното пространство се формира от:

Това примерно пространство съдържа 2 ⁵ =32 възможни резултата, съответстващи на всички възможни комбинации от E и Fs. Тъй като искаме да изчислим вероятността системата да се провали, събитието, което ни интересува, което ще наречем събитие А, се дава от всички резултати, при които поне един от компонентите се провали. С други думи, дава се от следния набор от резултати:

Всъщност има 2 ⁵ -1=31 възможни резултата, при които поне един от петте компонента се проваля. Ако искаме да изчислим вероятността за A (т.е. P(A)), ще трябва да изчислим вероятността за всеки от тези резултати; би било значителна работа.

Но нека сега разгледаме допълнителното събитие на A, тоест събитието, при което системата работи (което ще наричаме A ^C ). Както виждаме, единственият начин цялата система да работи е всичките пет компонента на веригата да работят, тоест:

Изчисляването на тази вероятност е много по-лесно от изчисляването на предишната. След това, като се има предвид тази вероятност, ние използваме правилото за допълване, за да изчислим вероятността за A. Тъй като резултатите от всеки чип са независими едно от друго събития, вероятността за A ^C е просто продуктът на вероятността, че всеки чип работи, да кажем :

Но каква е вероятността за E? Не забравяйте, че всеки чип или работи, или не работи, така че E е допълнението на F. Следователно, ако имаме вероятността за F (която е дадена в упражнението), можем да изчислим вероятността за E, като използваме правилото за допълнение:

Сега можем да изчислим вероятността цялата система да работи:

И отново прилагайки правилото за допълване, изчисляваме вероятността системата да се провали:

Отговор

Вероятността системата да се провали през първата година е 0,010 или 1,0%.

Препратки

Devore, JL (1998). ВЕРОЯТНОСТ И СТАТИСТИКА ЗА ИНЖЕНЕРСТВО И НАУКИ . International Thomson Publishers, SA

Правило за допълване . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Правило на допълнението във вероятностите . (2021 г., 1 януари). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/