Как да изчислим очакваната стойност в рулетка

По вероятност очакваната стойност на случайна променлива се отнася до средната стойност на голям брой пъти, в които променливата се появява . Изчислява се като среднопретеглена стойност на всички възможни стойности на случайната променлива, където тегловният коефициент не е нищо повече от вероятността всяка стойност да се появи.

Вероятността е област на изследване от голямо значение в областта на хазартните игри, сред които рулетката е една от най-популярните и най-лесните за разбиране.

Какво е рулетка и как се играе?

Типично колело на американска рулетка се състои от колело със серия от слотове, означени от 1 до 36, 18 от които са черни, а останалите 18 са червени. Освен това има две зелени клетки или слота, разположени в противоположните краища на колелото, идентифицирани съответно с числата 0 и 00, за общо 38 клетки.

Има и френски рулетки, които нямат кутия 00 и следователно имат общо 37 кутии.

Играта се състои от въртене на колелото, докато малка топка се хвърля в обратната посока. Тъй като въртящият се механизъм и топката се забавят, топката се приземява в един от 37 или 38 джоба или слота. Преди топката да спре, участниците могат да правят различни видове залози. Някои от възможните залози са:

• Залагайте на определено число (обикновено плаща 35:1)
• Заложете на две съседни числа (обикновено плаща 17:1)
• Заложете на червено или черно (обикновено плаща 1:1)
• Нечетни или четни числа (обикновено се плаща 1:1)
• Нисък или висок залог, т.е. първите 18 числа (от 1 до 18) или последните 18 (от 19 до 36) (обикновено се плаща 1:1)
• Първа дузина (1-12) (обикновено плаща 2:1)
• Втора дузина (от 13 до 24) (обикновено плаща 2:1)
• Трета дузина (от 25 до 36) (обикновено плаща 2:1)

Както можете да видите, всеки от тези залози предлага конкретно изплащане, което зависи от вероятността това да се случи.

След това ще изчислим очакваната стойност на печалбите според различните видове залози, които можем да направим в колело на американска рулетка. Резултатите, получени тук, лесно се екстраполират към френската рулетка, просто чрез промяна на общия брой възможни резултати в знаменателите на всички вероятности.

Във всички случаи ние ще определим очакваната стойност на печалбата за всеки заложен долар, въпреки че числената стойност може да бъде пренесена във всяка друга валута. Освен това, умножаването на тази очаквана стойност по действителната стойност на залога ще доведе до очакваната стойност на този залог. Така че, ако вместо да заложим $1, заложим $100, просто трябва да умножим очакваната стойност на залога от $1 по 100.

Формула за изчисляване на очакваната стойност на залог в рулетка

Случайната променлива, чиято очаквана стойност искаме да определим, е сумата пари, която ще спечелим средно, ако направим един и същ залог на рулетка голям брой пъти. Когато правим залог, ние провеждаме експеримент, който има само два възможни изхода: печелим или губим. Ще спечелим, ако топката попадне в поле, което отговаря на нашия залог, а в противен случай ще загубим.

Ако наречем X печалбата, получена чрез залагане (нашата случайна променлива), p вероятността за успех, x ₁ печалбата, която ще получим, ако спечелим, q вероятността за провал и x ₂ печалбата (или загубата), която ще имаме, ако загубим, тогава можем да изчислим очакваната стойност на залог като:

Сега ще видим как да приложим тази формула към различните залози, които можем да правим.

Очаквана стойност на залагане на определено число в рулетка

Да предположим, че залагаме $1 на определено число (0, 00, 1, 2, 3, …).

Печалбата за този залог, ако спечелим, е 35 към 1, което означава, че получаваме $35 за всеки $1, който залагаме, плюс ние получаваме нашия $1 заложен. Тогава ще кажем, че стойността на нашата случайна променлива в случай на успех (x ₁ ) ще бъде, в този случай, +$35, тъй като това е нетната печалба. Вероятността за успех (p) е 1/38, тъй като има общо 38 различни квадрата, в които топката може да падне, докато само 1, с който ще спечелим.

От друга страна, ако топката попадне на което и да е друго число, ние губим залога, в който случай къщата запазва $1, който сме заложили. Така нашата „печалба“ ще бъде –$1, тъй като всъщност губим пари. Вероятността да загубим (q) е 37/38, тъй като всяко поле, различно от числото, на което сме заложили, ще ни накара да загубим. С тези данни можем да приложим формулата и да определим очакваната стойност на този залог:

С други думи, очакваната стойност на залагане на определено число в рулетката е загуба от 5,3 цента за всеки долар, който залагаме.

Очаквана стойност на залагане на две съседни числа

Да предположим, че залагаме $1, като поставим чип между две съседни числа, като 2 и 3 или 17 и 20 (които са вертикално съседни).

Печалбата за този залог, за разлика от предишния, е 17 към 1, което означава, че получаваме $17 обратно за всеки $1, който заложим, плюс ние получаваме нашия $1 обратно. В този случай печалбата ще бъде +17$, докато вероятността за успех (p) ще бъде 2/38, тъй като има две числа, които ще ни накарат да спечелим, докато все още има същите общо 38 клетки.

От друга страна, ако загубим, губим отново същия $1, който сме заложили, но вероятността да загубим (q) сега е 36/38. Тогава очакваната стойност на този залог е:

Отново се очаква, че като залагаме на която и да е двойка съседни числа в рулетката многократно, средно ще загубим 5,3 цента за всеки заложен долар.

Очаквана стойност на залагане от десетки

Има шест различни залога, които можем да направим в рулетката, които включват дузина възможни благоприятни резултати; три от тях се състоят от залагане на първата, втората или третата дузина числа (без 0 или 00), а другите три се състоят от залагане на една от трите колони, в които са подредени числата на масата на рулетката.

Печалбата за който и да е от тези залози е 2 към 1, което означава, че печелим $2 за всеки $1, който заложим, и получаваме своя $1 обратно. Вероятността за успех е 12/38, тъй като залагаме на кошница от 12 различни числа. И накрая, вероятността от провал е 26/38 със същата загуба от $1 (или печалба от –$1, което е същото).

Очакваната стойност на нашата случайна променлива в този случай е:

Очаквана стойност на залагане на червено или черно, четно или нечетно, или залагане на ниско или високо

И накрая, има шест други различни залога, които можем да направим в рулетката, които представят едновременно същата вероятност за успех и същото плащане, ако спечелим, както и същата вероятност за провал и същата загуба на пари, ако загубим, така че ще изчислим очакваната им стойност по един и същ начин за всички. Тези залози са:

• Заложете на червено.
• заложете на черно
• Заложете на четни числа
• Заложете на нечетни числа
• Заложете на по-малките 18 числа (числата от 1 до 18)
• Заложете на високите 18 числа (числата от 19 до 36)

Въпреки че изглеждат като много различни залози, те всъщност са абсолютно еднакви. Всички те плащат $1 за всеки $1 заложен, плюс $1 върнат, така че всички те нетно +$1.

В допълнение, всички те имат еднаква вероятност за успех (и, като допълнение, за провал). Например, половината от числата от 1 до 36 се идентифицират с червения цвят, докато другата половина се идентифицират с черно, така че има 18/38 вероятност да се появи червено или черно (не забравяйте, че клетките от 0 и 00 са зелени, като по този начин завършват общо 38 възможни резултата).

Що се отнася до четните и нечетните числа, тъй като има 36 последователни числа, половината ще бъдат четни числа (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 и 36), а другата половина ще бъдат нечетни (1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 33 и 35). Трябва да помним, че нулата не се счита за четно или нечетно число, така че нито полето 0, нито полето 00 са част от нито един от двата резултата.

И накрая, има 18 ниски числа и 18 високи числа, така че вероятността да получите един или друг резултат също е 18/38.

От друга страна, неуспехът във всички тези случаи включва другата половина от числата, които не са отчетени в залога, плюс 0 и 00, така че има общо 20 възможни неблагоприятни изхода. Това предполага вероятност за провал от 20/38.

Тогава очакваната стойност на всеки от тези залози е:

Как се интерпретират тези резултати?

Този резултат не означава, че ако влезем в казино и заложим $1 на 21 например, ще загубим $0,053. В действителност, ако играем само веднъж , или ще се приберем $1 по-малко, или $35 повече.

Това, което означава този резултат, е, че ако залагаме на рулетка много пъти и винаги залагаме на едно число, понякога ще спечелим $35, а друг път ще загубим $1, но средно ще загубим $0,053 за всеки заложен долар.

Този резултат потвърждава популярната поговорка, че „банката винаги печели“, отнасяща се до факта, че дори ако казиното понякога изплаща джакпот на някой щастлив комарджия, той винаги ще спечели всичко, което е загубил, и повече от това. всички малки залози, в които участниците губят.

Препратки

DeVore, J. (2002). Вероятност и статистика за инженерството и науките (5-то издание). Thomson International.

Елиза, М. (2021 г., 23 април). Как да печелите на рулетка: Въведение във вероятностите и очакваните стойности . Среден. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

Очаквана стойност в статистиката: Дефиниция и изчисления . (2021, 8 юни). Статистика Как да. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

Средна (очаквана стойност), дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива | матермобил . (2021 г., 1 януари). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

Учебна сила. (2021, 8 юни). Очаквана стойност в статистиката: Дефиниция и изчисления [Видео]. Статистика Как да. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/