Правило за умножение за независими събития

Има много ситуации, в които се интересуваме от намирането на вероятността две събития да се случат едновременно. Някои от тях са:

• Намерете вероятността да хвърлите двойна шестица, когато хвърляте два зара едновременно или един след друг.
• Намерете вероятността човек, избран на случаен принцип от група, да е едновременно жена и мургав.
• Вероятността за избор на двойка ученици от противоположния пол от секция на училището.
• Вероятността две резервни системи за управление да се повредят едновременно при изстрелване на космическа ракета.

Този клас задачи могат да бъдат решени с помощта на общото правило за умножение на вероятностите. Това правило установява, че за две събития A и B вероятността те да се появят едновременно, т.е. вероятността за пресичане, се дава от:

В това уравнение P(A|B) е условната вероятност събитие А да се случи при дадено B. Горното е общото правило за умножение и се прилага за всяка двойка събития. В някои случаи условната вероятност е неизвестна или трудна за определяне; обаче, в случай на независими събития, тази вероятност е опростена, за да доведе до правилото за умножение за независими събития.

Правило за умножение за независими събития

Какво представляват независимите събития?

Две събития A и B са независими едно от друго, ако настъпването на едно от тях не влияе на вероятността другото да се случи. От гледна точка на математиката това означава, че условната вероятност за настъпване на едно от двете събития, като се има предвид, че знаем, че другото се е случило, е равна на простата вероятност за настъпване на първото. С други думи, две събития ще бъдат независими само ако:

Тълкуването на горното е, че вероятността да се случи А, като се има предвид, че се е случило Б, е равна на вероятността да се случи А. Това означава, че появата на В не е повлияла на вероятността да се случи А, така че и двете събития се случват. начин.

Всяка двойка събития, които не отговарят на горното условие, ще бъдат зависими събития.

Как се засяга правилото за умножение в този случай?

Както виждаме, първият израз на условието за независимост може да се използва за опростяване на общото правило за умножение, тъй като първият фактор може да бъде заменен с простата вероятност за A, като по този начин се получава следният израз:

Горният израз е известен като правило за умножение на вероятностите за независими събития . Това означава, че ако знаем, че две събития са независими едно от друго и знаем техните вероятности за възникване, тогава можем да намерим вероятността и двете да се случат едновременно, просто като умножим тези вероятности.

Примери за независими събития

Липсата на информация може да затрудни определянето дали две събития са независими. Например, може да си помислим, че наличието на кафява коса няма нищо общо с появата на рак на гърдата, но физиологията на човешкото тяло е толкова сложна, че никой лекар не би се осмелил да направи това твърдение.

Въпреки това има много прости експерименти, в които можем лесно да определим дали две събития са независими или не.

• Хвърлете два зара едновременно. Когато хвърляте два зара, резултатът от единия не влияе по никакъв начин на резултата, който може да се появи на другия, така че събитието, че единият зар попадне на дадено число, е независим от събитието, че другият зар попадне на друго число. или същото, даже.
• Резултатите от хвърлянето на един и същи зар два пъти подред също са независими един от друг по същите причини.
• Хвърлете монета два пъти. Фактът, че първият път попада с глави или опашки, няма да повлияе на резултата от следващото хвърляне.
• Във фабрика за хладилници, която има две независими производствени линии за компоненти, които използват отделни суровини и труд, е приемливо да се приеме, че вероятността единият от двата компонента да се повреди е независима от вероятността другият да се повреди.
• Произволното теглене на карта или колода от тесте, замяната й и след това произволно теглене на друга карта от тестето са отделни събития, тъй като замяната на оригиналната карта в тестето нулира шансовете за изтегляне на някоя от оригиналните карти.

Примери за събития, които не са независими

• Случайното теглене на карта или тесте от тесте и след това теглене на друга карта от същото тесте, без да се замества първото, не са независими събития, тъй като тегленето на първото намалява общия брой карти, присъстващи в тестето, което влияе на вероятността от всяка излиза друга карта. Освен това, ако не сменим първата карта, вероятността тази карта да излезе втори път става нула.
• При работещ автомобил вероятността двигателят на автомобила да прегрее и вероятността водната помпа , която охлажда двигателя да се повреди, не са независими събития, тъй като ако водната помпа се повреди, става много по-вероятно двигателят да прегрее.
• Още по-лесен пример за разбиране е, че получаването на добри оценки по статистика не е независимо от ученето , тъй като ако учим, е по-вероятно да получим добри оценки.

Примери за вероятностни изчисления, използващи правилото за умножение за независими събития

Пример 1: Хвърляне на монета два пъти

Да предположим, че искаме да изчислим вероятността при два пъти хвърляне на монета резултатът да е глави и при двете хвърляния.

Ако наречем A събитието, при което първото хвърляне носи глави, а B събитието, при което второто хвърляне носи глави, тогава вероятността, която трябва да изчислим, е вероятността за пресичане на A с B, тъй като искаме и двете събития да се случат . Тоест неизвестното е P(A∩B).

Тъй като има само два възможни изхода за всяко хвърляне, вероятността всяко събитие да се случи е една и съща:

Сега, тъй като знаем, че събитията са независими, можем да използваме правилото за умножение, за да определим вероятността за пресичане:

Пример 2: Хвърляне на два зара

Нека изчислим вероятността при хвърляне на два обикновени шестстранни зара единият да попадне на едно, а вторият на четно число.

Нека наречем следните събития A и B:

       A = един от заровете попада на 1.

       B = един от заровете попада на четно число.

Това, което искаме да изчислим, е отново P(A∩B).

Тъй като резултатът от всеки зар е независим от числото, което води до другия, можем да изчислим P(A∩B), като използваме правилото за умножение за независими събития. Но първо се нуждаем от вероятностите за A и B.

Зарът има 6 лица с числата от 1 до 6, които не се повтарят. Следователно има само едно 1 и има три четни числа, а именно 2, 4 и 6. Следователно вероятностите отделните събития да се случат са:

Използвайки тези вероятности и правилото за умножение, получаваме желаната вероятност:

Пример 3: Части, които се повредят

Фабрика, която изгражда компютърно оборудване, използва, наред с други компоненти, два различни чипа или интегрални схеми от два различни производителя. Според производителя на първия чип, вероятността той да се повреди при нормални условия на работа е 0,00133. От своя страна вторият производител се хвали, че само два от неговите чипове отказват на всеки 5000 инсталирани бройки. Собственикът на фабриката иска да намери вероятността двата компонента да се повредят едновременно. Провалът на всяка марка чипове може да се счита за независим от другата.

В този случай самият оператор уточнява, че двете събития са независими, така че можем да използваме правилото за умножение по-горе. Освен това е предоставена и вероятността от повреда на първия чип, която ще наречем събитие А. Вероятността от повреда на втория чип (събитие B) може да се изчисли от информацията, предоставена от производителя:

Така че вероятността двата компонента да се повредят едновременно е:

Препратки

Условна вероятност и независимост . (nd). Здравен университет на Флорида. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). ВЕРОЯТНОСТ И СТАТИСТИКА ЗА ИНЖЕНЕРСТВО И НАУКИ . International Thomson Publishers, SA

Фрост, Дж. (2021 г., 10 май). Правило за умножение за изчисляване на вероятности . Статистика от Джим. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Правило за умножение, решени упражнения . (2021 г., 1 януари). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Правило за умножение на вероятностите . (nd). Университетски преподаватели. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Правило за умножение (вероятност) [Примери] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Общото правило за умножение . (nd). Кан Академия. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule