Ето как се изчислява процентът на грешката

В науката и инженерството процентната грешка , наричана още процентна грешка или процентна относителна грешка, изразява разликата между експериментално определена или оценена стойност и известна, теоретична или приета истинска стойност, като процент от последната. В този смисъл процентната грешка е относителна мярка за точността на въпросната оценка или експериментално определяне, изразена като процент.

Процентът на грешка обикновено се представя със символа %E, EP (за процентна грешка) или ERP (за относителна процентна грешка), в зависимост от областта на знанието, в която се използва. Както ще видим в тази статия, той може да бъде изчислен по различни начини в зависимост от наличните данни.

Полезност на процентните грешки

Тъй като е относителна грешка, изразена като процент, процентът на грешката ни позволява да имаме по-ясна представа за големината на грешката, допусната по време на оценка или по време на експериментално определяне на някаква величина от интерес.

Да предположим например, че когато отчита броя на новите потвърдени случаи по време на пандемия, страна А отчита 5 000 нови случая, когато всъщност има 10 000, докато държава Б отчита 45 000 нови случая, когато всъщност има 50 000. Както се вижда, и двете държави са допуснали грешка при отчитането на новите случаи, като и в двата случая грешката е с 5000 случая по-малко от реалните.

Въпреки това, само като се погледнат числата, е лесно да се види, че като цяло Държава Б е по-точна от Държава А в своите отчети, тъй като в сравнение с общия брой действителни случаи (който е 50 000), грешката е много по-малка от грешката за страна А.

В случая с този пример е много лесно да се каже кой от двата отчета е по-точен, тъй като и двете абсолютни грешки са еднакви и се променя само действителният брой случаи. Това обаче рядко се случва и ако както броят на действителните случаи, така и броят на докладваните случаи бяха различни, сравнението нямаше да е толкова лесно.

Това е мястото, където относителните грешки са полезни и особено процентът, благодарение на факта, че сме склонни да се занимаваме с проценти постоянно в ежедневието си. Когато се изрази като процент, големината на абсолютната грешка се нормализира, така че две грешки могат лесно да се сравняват една с друга. Както ще видим след малко, грешката, допусната от страна А, е 50%, докато тази от страна Б е 10%, от което става ясно, че държава Б е била много по-точна в докладването си от страна А. .

Как се изчислява процентната грешка?

В зависимост от данните, с които разполагате, процентната грешка може да се изчисли по три различни начина:

• Първият, базиран на прогнозната стойност и стойността, приета за реална.
• Вторият, базиран на абсолютната грешка и стойността, приета за реална.
• Третото, от относителната грешка.

Също така е важно да се вземе предвид полето, в което се изчислява грешката. В някои случаи всичко, което има значение, е големината на процентната грешка, но нейният знак няма значение. От друга страна, в други случаи знакът на грешката е съществена част, която позволява да се вземат решения, тъй като грешка над реалната стойност може да не е нещо сериозно, но грешка под нея е.

Изчисляването на процента грешка е толкова просто, колкото прилагането на подходящата формула. След това показваме различните формули, които могат да се използват за тази цел.

Формули за процент грешки

От прогнозната стойност и приетата за реална стойност

В случай, че реалната стойност на количеството, което се измерва или оценява, е известна, формулата за намиране на процента на грешката е:

Тази формула може да бъде написана по различни начини за всеки случай, в зависимост от величината, чиято грешка се изчислява. Например, ако изчислявате процентната грешка в теглото на кутия със зърнени храни на производствена линия, формулата може да бъде написана като:

Ако изчислената грешка се отнася до определянето на плътността на проба от вещество, известно като желязо, например, тогава формулата за намиране на процентната грешка ще бъде:

и така нататък.

От абсолютната грешка и стойността, приета за реална

Във формулата за процентна грешка разликата между прогнозната или експериментална стойност и действителната стойност, която се появява в числителя, представлява абсолютната грешка (E). Така че тази формула може да бъде написана и като:

От относителната грешка

В горната формула съотношението между абсолютната грешка и действителната стойност съответства на относителната грешка (ER), така че процентната грешка може да се изчисли и просто чрез умножаване на относителната грешка по 100:

Знакът на процентната грешка и абсолютната стойност

При изчисляване на процентна грешка с помощта на някоя от горните формули има възможност резултатът да бъде положителен или отрицателен в зависимост от това дали прогнозната стойност е по-голяма или по-малка от действителната стойност.

Когато процентната грешка е положителна, това означава, че прогнозната стойност е по-голяма, отколкото би трябвало да бъде, така че сме в присъствието на излишна грешка .

В противен случай, ако експерименталната или прогнозната стойност е по-малка от това, което трябва да бъде, процентната грешка ще бъде отрицателна, в който случай имаме грешка по подразбиране .

В много случаи не е важно да се знае дали грешката се дължи на излишък или дефицит и е за предпочитане да се получат само положителни резултати. В тези случаи към числителя се добавя абсолютна стойност:

Как се изчислява процентната грешка в извадка?

Важно е да се отбележи фактът, че в повечето експериментални ситуации истинската стойност на това, което измерваме, всъщност не е известна. Например, може да определяме плътността на неизвестно вещество, така че нямаме стандарт за сравнение и изчисляване на грешката.

В тези ситуации неизвестната „истинска стойност“ се оценява чрез средната стойност на експериментални измервания със същата величина. Споменатата извадкова средна стойност е тази, която се приема като реална стойност, за да се определи процентът на грешка на всяко от проведените отделни измервания. В този случай формулата ще изглежда така:

където %E _i е процентната грешка на i -тото експериментално измерване, x _i е i -тото експериментално измерване и x̄ е средната стойност на всички експериментални измервания.

Примери за изчисляване на процент грешки

Пример 1: Градове A и B

Нека изчислим процентите грешки на отчетите за нови случаи в градовете A и B от предишния пример. В случая на град A прогнозната или отчетена стойност е 5 000 случая, докато действителният брой случаи е 10 000. Прилагане на формулата за процента грешки:

За град B броят на докладваните случаи е 45 000, докато действителният брой е 50 000, така че процентът на грешка за доклад B е:

Имайте предвид, че и в двата случая грешката е по подразбиране, тъй като е отрицателна, и че докладът от град B е по-точен от този от град A.

Пример 2: Абсолютна нула

В обща учебна лаборатория по химия групи от трима студенти извършват определянето на температурата в градуси по Целзий, съответстваща на абсолютната нула. Резултатът на една от групите е -275,32°C. Знаейки, че реалната стойност е -273,15°C, определете процента на грешката Дали грешката се дължи на излишък или на недостатък?

Решение:

Този пример подчертава колко е важно да внимавате със знаците и да помните, че в знаменателя абсолютната стойност е необходима, за да се гарантира, че знакът на грешката се определя само от числителя.

Заключението е, че това е грешка по подразбиране.

Пример 3: Извадка от 10 експериментални данни

Извършено е експериментално определяне на отцедените тегла на 10 кутии риба тон в растително масло, получени от рафтовете на супермаркет. Индивидуалните тегла са представени в следващата таблица. Определете процентната грешка в теглото на първата кутия.

В този случай реалната стойност на изцеденото тегло на съдържанието на консервите с риба тон не е известна, така че най-доброто, което можем да направим, е да оценим тази стойност чрез средната стойност на десетте проби. Споменатата средна стойност в този случай е x̄ = 148 g, така че прилагайки формулата:

В този случай проба 1 представя абсолютна грешка поради превишение от близо 4%.

Препратки

Чанг, Р., Манзо, А. R., Lopez, PS, & Herranz, ZR (2020). Химия. (10-то ^{издание} ). Ню Йорк, Ню Йорк: MCGRAW-HILL.

Грейс, FA (2011). Грешки при измерване. Взето от http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/medidas/medidas.htm

Измерване. (2021, 11 януари). Извлечено от https://stats.libretexts.org/@go/page/2111

Skoog, DA, West, DM, Holler, J., & Crouch, SR (2021). Основи на аналитичната химия (9-то издание). Бостън, Масачузетс: Cengage Learning.