Tabla de Contenidos
В математиката средната стойност, наричана още средна, е число, което обобщава стойността на набор от числа или данни в едно . Известен е като мярка за централна тенденция, защото по някакъв начин представлява стойност, която е в центъра на колекция от данни.
За какво са средните стойности?
Средните стойности са много полезни, тъй като ни позволяват да видим в общи черти поведението на голям брой данни, без да се губим в детайлите на всяка от отделните стойности. Ако използваме аналогия, изчисляването на средната стойност ни позволява да видим гората като цяло, вместо да се фокусираме върху дърветата.
Например, можем да имаме таблица, в която са стойностите на ръста на 100 ученици от един и същи клас на учебно заведение. Най-вероятно никой от тези хора не е точно с еднаква височина, така че повечето от стойностите в таблицата ще бъдат различни.
Какво ще стане, ако някой ни попита колко високи са учениците в този клас в този кампус? Би било некоректно да се посочи височината на някой от тях като отговор. Това е мястото, където средните стойности започват да помагат. Вместо да отчитате 100 различни височини, средната стойност ви позволява да обобщите цялата тази информация в едно число. Тогава бихме могли да кажем, че студентите в кампуса са средно високи 1,67 м (ако това беше така).
Това не означава, че не всички ученици са с ръст 1,67, нито дори че някой от тях има този ръст. Просто числото, което най-добре представя височината на учениците в този клас в този кампус, е 1,67 m.
Загуба на информация с изчисляване на средни стойности
Очевидно, като обобщавате данните в средна стойност, вие пропускате много информация. Информацията се жертва за яснота. Изчисляването на средни стойности е част от това, което е известно като описателна статистика, което не е нищо повече от набор от техники и изчисления, които позволяват поведението или характеристиките на голяма колекция от данни да бъдат описани с малко числа.
Средните стойности сами по себе си обикновено не предоставят достатъчно информация за много от приложенията, които им предоставяме. За да се възстанови част от липсващата информация, средните стойности често се отчитат заедно с някаква мярка за дисперсията на отделните данни около средната стойност, като дисперсия или стандартно отклонение.
Видове средни стойности и техните формули
Има различни начини за изчисляване на средна стойност от колекция от данни. Това поражда различни видове средни стойности или по-скоро средни стойности.
- Средно аритметично (X̅ или AM)
- Средно претеглено аритметично (WAM)
- Средно геометрично (GM)
- Средно хармонично (HM)
- Средноквадратичен корен (RMS)
Средно аритметично (X̅ или AM)
Средната аритметична стойност или AM е най-често използваната форма на средна стойност в ежедневието. Това е проста сума от елементите, които трябва да бъдат осреднени, разделена на общия брой елементи или данни.
Средната аритметична стойност се представя в много математически контексти чрез символа, който представлява осреднената променлива с лента над него. Например средноаритметичната стойност на променливата X е представена като X̅ (X-лента). Понякога се представя и от AM X. Формулата му се дава от:
В това уравнение X i представлява i-тия индивидуален елемент от данни, а n е общият брой елементи от данни, които се осредняват.
Тази средна стойност има характеристиката, че е в центъра на всички данни, по такъв начин, че сумата от отклоненията на всички индивидуални данни по отношение на средната винаги е нула.
Средната аритметична стойност е много чувствителна към отклонения или екстремни данни. Тоест, когато има стойност в набор от данни, която е или много по-голяма от по-голямата част от другите данни, или много по-малка, тези екстремни данни изтеглят средната стойност към нея, далеч от по-голямата част от другите данни.
Среднопретеглено аритметично (WAM или W)
Средната аритметична стойност придава еднаква важност или тежест на всички осреднени данни. Това обаче не винаги е удобно, тъй като някои данни може да са по-важни от други. В тези случаи се използва среднопретеглената аритметична или среднопретеглената стойност, която обикновено се представя със символа W (от англ. “ претеглена средна стойност“ ).
При претегленото осредняване относителната важност на всеки елемент от данни се въвежда в изчислението под формата на конкретен тегловен коефициент ( w i ) за всеки елемент от данни ( X i ). Колкото по-голяма е важността на данните, толкова по-голям е техният коефициент на тежест, като по този начин се увеличава влиянието им върху крайната средна стойност. Формулата за изчисляване на среднопретеглената стойност е:
Тегловият коефициент може да бъде избран произволно и в някои случаи дори може да бъде изчислен с помощта на подходяща тегловна функция, както се счита за необходимо.
Пример за ситуация, при която среднопретеглената стойност е по-подходяща от простата средна, е даден в случай на изчисляване на средната оценка на студент. Средноаритметичното или простото средно не е подходящо за тези случаи, тъй като има предмети, които изискват много повече работа и отдаденост от други, а има и предмети, които са по-важни от други за академичното бъдеще на ученика. Поради тази причина те трябва да допринасят повече за GPA, отколкото по-малко важни предмети.
В тези случаи броят на кредитните единици на предмета обикновено се използва като коефициент на тежест.
средно геометрично (GM)
При изчисляване на средното геометрично, вместо да се вземе сумата от данните и да се раздели на броя на данните, n отделни данни се умножават заедно и се взема n-ти корен от общото произведение.
Тази средна стойност има свойството да бъде нула, ако някоя от осреднените данни е нула. Освен това, ако броят на елементите с данни е четен, тогава средната геометрична стойност не е дефинирана за отрицателни данни, поради което нейната полезност е ограничена до строго положителни числа.
Този тип средна стойност често се използва при изчисляване на процентни средни стойности.
Средно хармонично (HM)
Средната хармонична стойност или HM е вид средна стойност, която често се използва за осредняване на количества, които се изчисляват като продукти или частни. Някои важни примери са изчисляването на средните скорости за пътувания с еднаква дължина, съотношението цена/печалба (PER) на инвестициите на фондовия пазар и др.
Формулата за изчисляване на средната хармонична стойност се състои от обратната на средната аритметична стойност на обратната на отделните данни. С други думи, тя се дава от следното уравнение:
Средноквадратичен корен (RMS)
Известен също като средна квадратична стойност, RMS представлява тип средна стойност, подходяща за данни, които имат както положителни, така и отрицателни стойности. Това е така, защото съответства на корен квадратен от средната аритметична стойност на квадратите на отделните данни. Чрез повдигане на квадрат на всяка част от данните, полученият резултат винаги ще бъде положителен, така че влиянието на този знак върху изчисляването на средната стойност се елиминира.
RMS се дава от:
Най-често срещаното приложение на RMS е изчисляването на ефективното напрежение на променливотоковия ток със синусоидална вълна. В този случай най-важна е средната амплитуда на вълната, а не средната стойност на напрежението, което е нула поради симетрия около 0 V.
Други мерки на централната тенденция: медианата и модата
В допълнение към различните средства, които видяхме преди, има и други мерки за централна тенденция, които се използват главно в статистиката. Това са медианата и модата.
Медианата (X̃)
В набор от количествени данни, подредени от най-малкото към най-голямото, медианата представлява централните данни или стойността на променливата, която разделя серията данни на две половини или набори с еднакъв брой данни. По този начин определянето на медианата, която е представена чрез поставяне на тилда или тилда върху символа на интересуващата ни променлива (например ṽ може да представлява медианата на поредица от данни за скорост), зависи от общия брой на налични данни.
Медианата не е задължително да се изчислява, а по-скоро се идентифицира в набор от данни. За да идентифицирате медианата, първото нещо, което трябва да направите, е да подредите всички данни от най-малкото към най-голямото и след това да ги номерирате в последователност от 1 нататък. Следващата стъпка зависи от това дали общият брой налични данни (n) е четен или нечетен:
Брой нечетни данни: Ако серията съдържа нечетен брой данни, тогава медианата ще бъде данните, идентифицирани с числото (n+1)/2. Например, ако има общо 15 точки от данни, медианата ще бъде точката от данни (15+1)2=8, тъй като това оставя 7 точки от данни под и 7 точки от данни над медианата.
Брой четни данни: В този случай няма централни данни, които да разделят серията на две равни половини, така че медианата се изчислява като средноаритметично на двете централни данни, т.е. на числото на данните n/2 и данните (n/2) +1. Например, ако серия от данни съдържа 24 елемента от данни, тогава медианата ще бъде простата средна стойност между елемента от данни 2/2=12 и елемента от данни (2/24)+1=13.
Медианата предлага предимството да бъде по-малко чувствителна към екстремни стойности от средната. Въпреки това, не е добра мярка за централната тенденция, ако данните са изкривени.
Режимът (Mo X )
Режимът е просто най-често срещаната стойност или категория в набор от данни. Това е нещо като „най-горещата“ стойност в серията и представлява най-високия пик, когато данните са представени под формата на хистограма.
Пример за изчисляване на различни средни стойности
Да предположим, че имаме следната поредица от данни, съответстващи на ръста на 30 ученици в математическа секция в столично училище. Всички височини са в метри.
| 1.56 | 1.45 | 1.44 | 1.60 | 1.58 |
| 1.39 | 1.71 | 1.49 | 1.52 | 1.53 |
| 1.63 | 1,68 | 1.47 | 1.56 | 1.59 |
| 1.40 | 1.50 | 1.58 | 1.62 | 1,66 |
| 1.74 | 1,79 | 1.58 | 1.67 | 1.70 |
| 1.51 | 1.61 | 1,69 | 1.73 | 1,77 |
От тези данни определете а) средната аритметична стойност; б) средно геометрично; в) средната хармонична стойност; г) RMS и д) медианата.
Решение
Тъй като от нас се иска да определим медианата и за това трябва да имаме подредени и идентифицирани данните, ще започнем оттук, тъй като това обикновено улеснява другите изчисления:
| Йо | Xi _ | Йо | Xi _ |
| 1 | 1.39 | 16 | 1.59 |
| 2 | 1.40 | 17 | 1.60 |
| 3 | 1.44 | 18 | 1.70 |
| 4 | 1.45 | 19 | 1.62 |
| 5 | 1.47 | двадесет | 1.63 |
| 6 | 1.49 | двадесет и едно | 1,66 |
| 7 | 1.50 | 22 | 1.74 |
| 8 | 1.60 | 23 | 1,68 |
| 9 | 1.52 | 24 | 1,85 |
| 10 | 1.53 | 25 | 1,79 |
| единадесет | 1.56 | 26 | 1.71 |
| 12 | 1.56 | 27 | 1,90 |
| 13 | 1.58 | 28 | 1.82 |
| 14 | 1.67 | 29 | 2.01 |
| петнадесет | 1.58 | 30 | 1,93 |
Сега, използвайки тази таблица, ще изчислим средните стойности, които трябва да изчислим. И в двата случая става въпрос просто за прилагане на уравненията, показани по-горе:
Средно аритметично
Средна геометрична
хармонично средно
RMS
Медиана
Тъй като това е четен брой данни, медианата ще бъде средноаритметичната стойност на данните 30/2=15 и (30/2)+1=16, тоест ще бъде средната стойност между 1,58 и 1,59:
Препратки
Конте, М. (2017 г., 21 юли). Средно аритметично или средно геометрично? Разширяване. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html
Насладете се на математиката. (2011). Определение: средно . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html
Лариос, Р. (2020 г., 9 септември). Колко е средното по математика? Учете у дома II . Съюз Халиско. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/
López, JF (2021 г., 2 февруари). средно геометрично . Икономипедия. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html
Математика, М. (2020 г., 25 юни). средни стойности; аритметика; геометрични и хармонични; Имоти; приложения . математика https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/
Pérez P., J., & Merino, M. (2011). Определение за средно . Дефиниция на. https://definicion.de/average/
Отвореният университет. (2020 г.). Основна наука: разбиране на числата . OpenLearn. Достъпно на https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .
