Tabla de Contenidos
Числата имат различни свойства и могат да бъдат класифицирани в различни групи. Една от тези групи, с широко приложение в различни клонове на математиката, са реалните числа. За да ги разберем по-добре, нека първо да видим какви са различните видове числа.
Числата
Първото нещо, което научаваме за числата , е как да ги използваме за броене; започваме със съпоставянето им с пръсти, за да извършваме прости операции. Така нашите десет пръста са основата на десетичната система. Оттам нататък преброяваме възможно най-големи количества и отбелязваме, че числата са безкрайни. И така, добавяйки нула (0), когато няма какво да броим, се образуват естествените числа.
С естествените числа извършваме аритметични действия и когато изваждаме друго число от число, трябва да въведем отрицателните числа. И така, добавяйки отрицателните числа към естествените, получаваме набора от цели числа.
Сред аритметичните операции, които извършваме с числата, е делението. И откриваме, че има случаи, в които при деление на едно число на друго резултатът не е цяло число; В много случаи този резултат от деленето може да бъде точно представен само от самия израз за делене, тоест дроб. Така се изгражда множеството от рационални числа, в което всички числа са записани като дроб, а целите числа имат знаменател 1.
Древните цивилизации са забелязали, че има числа, които не могат да бъдат представени като дроби. При работа с геометрични фигури откриха числото пи, връзката между радиуса и дължината на окръжност, число, което не може да се изрази като частно между две цели числа. Такъв е и случаят с корен квадратен от числото 2 (тоест числото, което умножено по себе си, ще даде числото 2 като резултат). И има много числа, които се появяват в различни области на знанието, които не са част от набора от рационални числа. Тези числа, които не могат да бъдат точно представени като частно от две цели числа, се наричат ирационални числа. Тогава наборът от рационални и ирационални числа представлява набор от реални числа.
Реалните числа са част от още по-голям набор от числа: комплексните числа. Това разширение на набора от реални числа възниква, когато искаме да изчислим корен квадратен от отрицателно число; Тъй като произведението на две отрицателни числа винаги е положително, няма реално число, което умножено по себе си да е отрицателно. След това въображаемото число i се дефинира , което представлява корен квадратен от -1, и възниква множеството от комплексни числа.
десетично представяне
Всички числа могат да бъдат изразени в десетична форма; Например рационалното число 1/2 може да бъде изразено в десетична форма като 0,5. За разлика от рационалното число 1/2, което може да бъде точно представено с един десетичен знак, други рационални числа имат безкраен брой десетични знаци и неТе могат да бъдат изразени точно с десетично представяне. Това е случаят с числото 1/3; Неговото десетично представяне е 0,33333…, с безкраен брой десетични знаци. Тези рационални числа се наричат периодични десетични числа, тъй като във всички случаи има последователност от числа, която се повтаря безкрайно много пъти. В случая на числото 1/3 тази последователност е 3; в случая на числото 1/7 десетичната му форма е 0,1428571428571…, а последователността, която се повтаря безкрайно, е 142857. Ирационалните числа не са периодични десетични числа; няма последователност, която да се повтаря безкрайно много пъти в нейното десетично представяне.
Визуално представяне
Реалните числа могат да бъдат визуализирани чрез свързване на всяко от тях с една от безкрайно много точки по права линия, както е показано на фигурата. В това графично представяне се намира числото pi, чиято стойност е приблизително 3,1416, числото e , което е приблизително 2,7183, и корен квадратен от числото 2, приблизително 1,4142. От числото 0 вдясно са разположени положителните реални числа в нарастваща форма, а вляво отрицателните, увеличавайки абсолютната си стойност в тази посока.
Някои свойства на реалните числа
Реалните числа се държат като цели числа или рационални числа, с които сме по-запознати. Можем да ги събираме, изваждаме, умножаваме и разделяме по същия начин; единственото изключение е делението с числото 0, операция, която не е възможна. Редът на събиранията и умноженията не е важен, тъй като комутативното свойство все още е в сила, а разпределителното свойство се прилага по същия начин. По същия начин две реални числа x и y са подредени по уникален начин и само едно от следните отношения е правилно:
x = y , x < y или x > y
Реалните числа са безкрайни, точно както целите числа и рационалните числа. По принцип това е очевидно, тъй като и целите числа, и рационалните са подмножества на реалните числа. Но има разлика: в случай на цели числа и рационални числа се казва, че те са изброимо безкрайни числа; вместо това реалните числа са безкрайно безбройни.
Едно множество се нарича изброимо или изброимо, когато всеки от неговите компоненти може да бъде свързан с естествено число. Асоциацията е очевидна в случай на цели числа; в случай на рационални числа може да се разглежда като връзка с двойка естествени числа, числителя и знаменателя. Но това свързване не е възможно в случай на реални числа.
Източници
- Ариас Кабесас, Хосе Мария, Маза Саес, Илдефонсо. Аритметика и алгебра . В Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Математика 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Мадрид, 2008 г.
- Карлос Ивора. Логика и теория на множествата . 2011 г.
