Tabla de Contenidos
Дефиницията на взаимно изключващи се събития може да бъде дадена по различни начини. Като начало се казва, че две събития са взаимно изключващи се или несвързани, ако настъпването на някое от тях изключва възможността за настъпване на другото . Това означава, че това са събития, които не могат да се случат едновременно . Например, когато зарът се хвърля само веднъж, резултатът от кацане на което и да е от шестте лица го изключва от кацане на което и да е от другите пет. По този начин събитието, което пада 4, и събитието, което пада, да речем, 3, са взаимно изключващи се, тъй като зарът не може да пада едновременно на 4 и 3.
От друга страна, в областта на вероятностите се казва, че две събития са взаимно изключващи се, докато не споделят резултати помежду си . Това идва от факта, че по вероятност едно събитие се разглежда като набор от възможни резултати от експеримент. Могат да се дефинират различни събития, които споделят или не споделят резултати, а тези, които не споделят резултати, се считат за взаимно изключващи се.
В по-формални математически термини и използвайки нотация на теорията на множествата, събития A и B ще бъдат взаимно изключващи се, ако тяхното пресичане е празното множество , тоест те не се пресичат. С други думи, A и B ще бъдат взаимно изключващи се, докато A ∩ B = Ø.
Кога две събития са взаимно изключващи се?
В случаите, когато логиката не ни казва предварително дали две събития са взаимно изключващи се, теорията на множествата и вероятността предоставят решението. Ето три лесни начина да определите без съмнение кога две събития са взаимно изключващи се или несъвместими.
Наблюдаване на елементите във всеки комплект
Когато две събития съдържат краен и малък набор от елементи, е много лесно да се определи дали те са несвързани или не, просто като се провери дали съдържат общи елементи или не.
Пример
Помислете например за експеримента с хвърляне на два зара едновременно. Сега нека дефинираме следните две събития:
- Нека A е събитието, при което сборът от двата зара е по-голям или равен на 10.
- Нека B е събитието, при което сборът от двата зара е точно равен на 8.
Лесно е да се определи кои резултати са включени във всяко събитие. В първия само резултатите (5,5); (5,6) и (6,6) водят до сума, по-голяма или равна на 10. От друга страна, само резултатите (4,4); (5,3) и (6,2) дават 8. Така че сега можем да напишем, използвайки символика на теория на множествата:
Тъй като няма общи елементи, пресечната точка е празното множество и следователно събитията са взаимно изключващи се.
Използване на диаграми на Вен
Друг много лесен начин да определите дали две събития са взаимно изключващи се е да ги представите в диаграма на Вен. В тези диаграми примерното пространство е представено от правоъгълник (или друга форма), докато всички събития са представени като вътрешни области на примерното пространство.
В диаграмата на Venn взаимно изключващите се събития лесно се разпознават като тези области в рамките на правоъгълника, които не се докосват или се припокриват.
По вероятността за съюз
В някои случаи горните два метода не могат да бъдат приложени. Алтернативен начин за проверка дали две събития са взаимно изключващи се или не е чрез вероятност. Ако индивидуалните вероятности за всяко събитие са известни, т.е. P(A) и P(B), както и вероятността едно или друго събитие да се случи, т.е. P(AUB), тогава знаем, че две събития са несвързани, ако е изпълнено, че:
Алтернативен начин е чрез вероятността за пресичане. Две събития ще бъдат взаимно изключващи се, докато P(A ∩ B) = 0 .
Примери за взаимно изключващи се събития
Простите събития винаги се изключват взаимно
Простите събития са тези, които съдържат един резултат. Когато хвърляте шестстранен зар, събитието, че се появи 6, е просто събитие, тъй като се състои само от резултата 6. От друга страна, събитието, че се появи дори, не е просто, тъй като е съставен от три резултата, които са 2, 4 и 6.
Всички прости събития в един експеримент винаги ще бъдат взаимно изключващи се.
Пример
Да предположим, че едно проучване определя броя на мъжете, родени на седмица в болница. Примерното пространство, S , за този експеримент е
Някои прости събития биха били:
Както може да се види, тъй като те нямат повече от един резултат и всички те са различни, нито едно от тези събития не може да споделя елементи с друго и следователно те винаги ще бъдат взаимно изключващи се.
Хвърлете три зара едновременно
Хвърлянето на три зара едновременно е експеримент, който може да има 36 различни резултата, тъй като редът на заровете няма значение: резултатите (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) и (3,2,1) всички представляват един и същ резултат.
Представете си, че се случват следните три събития:
- A = събитие, при което всички зарове дават един и същ резултат.
- B = събитие, при което само два зара дават един и същ резултат.
- C = събитие, при което всички зарове дават различни резултати.
Само по здрав разум може да се заключи, че A, B и C са взаимно изключващи се събития, тъй като ако всички зарове дадат един и същ резултат (събитие A се случва), е невъзможно само две да са еднакви и едно различно, или че всички са различни.
Игра на карти
Представете си експеримент, при който две карти се изтеглят на случаен принцип от тесте от 52 покер карти. Сега нека дефинираме следните събития:
- A = нарисувани са само червени точки.
- B = нарисувани са само черни точки.
Тези събития са взаимно изключващи се, тъй като ако и двете карти са червени, те не могат да бъдат и двете черни и обратното.
Примери за събития, които не се изключват взаимно
Хвърлете три зара едновременно
Нека вземем същия експеримент с три зара, описан по-горе, но сега дефинирайте следните събития:
- A = събитие, при което всички зарове са равни = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
- B = събитие, при което всички зарове са четни = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}
Чрез сравняване на елементите вътре в A и B е лесно да се види, че ще има съвпадения и че пресечната точка на A и B ще бъде:
Тъй като пресечната точка не е празното множество, тогава тези събития не са разделени.
Игра на карти
Повтаряйки същия експеримент с теглене на две карти от тесте, нека разгледаме следните нови събития:
- A = поне една карта е сърца.
- B = поне една карта е поп.
В този случай, когато бъде изтеглен Поп черва, A и B се появяват едновременно. Всъщност, това не е единственият резултат, който се случва, тъй като ако са изтеглени поп купа и асо купа, A и B също ще се появят едновременно. Следователно A и B не са взаимно изключващи се събития.
Значение и приложение на взаимно изключващи се събития
В математиката изчисляването на вероятността от множество събития зависи до голяма степен от това дали те са взаимно изключващи се или не. Например, една от аксиомите на вероятността гласи, че вероятността за обединение на няколко събития е равна на сумата от индивидуалната вероятност за всяко събитие , ако и само ако всички събития са взаимно изключващи се . С други думи,
Само ако A и B са несвързани или взаимно изключващи се събития.
Ако те не са взаимно изключващи се, тогава сумата от вероятностите отчита два пъти вероятността за резултати, общи за двете събития, т.е. вероятността за пресичане. Поради тази причина в тези случаи вероятността за обединение се изчислява по различен начин:
За три събития, A, B и C, които не се изключват взаимно и които също се пресичат, нещата стават още по-сложни:
В този случай вероятността за пресичане на трите събития, P( A ∩ B ∩ C) , трябва да се добави последна, тъй като тя беше извадена три пъти чрез изваждане на пресечните точки на различните двойки събития.
