Аксиомите на вероятността

Аксиомите са поредица от твърдения, които се приемат за верни без необходимост от доказателство и на които се основават всички теории и теореми на науката. Следователно аксиомите на вероятността са тези фундаментални твърдения, на които се основава теорията на вероятностите . Те представляват крайната референтна рамка, към която логически трябва да се отнасят всички съществуващи теореми в теорията на вероятностите. Те са постулирани от руския математик Андрей Николаевич Колмогоров през 1933 г. и произтичат единствено от здравия разум.

Целта на аксиомите на вероятността е да формализират математическата концепция за вероятността, за да гарантират, че числените стойности, които приписваме на вероятността нещо да се случи, са в съответствие с нашата интуитивна представа за вероятност.

Предварителни определения

Теорията на вероятностите се основава само на три аксиоми , но преди да навлезем в подробности, е необходимо да установим някои основни дефиниции, както и някои конвенции около символиката, използвана в вероятността:

• Експериментирайте. Това е всяко действие или процес, който генерира резултат или наблюдение. Например хвърлянето на монета е експеримент (процес или действие), който може да доведе до глави или опашки.
• Примерно пространство ( S ). Отнася се за набор от всички възможни резултати от експеримент и се обозначава със символа S. В примера за хвърляне на монета по-горе примерното пространство се състои от набор от само два резултата: S ={глави, опашки}.
• Събитие ( E ). Едно събитие е подмножество от пространството на извадката, тоест произволен брой възможни резултати от експеримента. Събитията обикновено се идентифицират с главни букви и индекси (като E ₁ , E ₂ , E ₃ и т.н.) или с различни букви (A, B, C,…). Например излизането на глави при хвърляне на монета е събитие. Предстоящите опашки са различно събитие.
• Вероятност ( P ): Това е числова стойност, която се приписва на дадено събитие и показва степента на сигурност, която човек има за неговото възникване. Като общо правило, колкото по-сигурен сте, че дадено събитие (например E ₁ ) ще се случи, толкова по-висока стойност на вероятността присвоявате на това събитие.

комплекти

В допълнение към тези дефиниции също е полезно да запомните някои операции, свързани с множества. Пресичането между две множества води до ново множество с общи за двете елементи, което се означава със символа ∩ и се чете „и“. От друга страна, обединението между две множества е ново множество с всички общи и необичайни елементи и на двете, то се представя със символа ∪ и се чете „или“.

Пример:

• Изразът P(E ₁ ∩ E ₂ ) се чете „Вероятност събитие E ₁ и събитие E ₂ да настъпят едновременно“
• Изразът P(E ₁ ∪ E ₂ ) се чете „Вероятност за настъпване на събитие E ₁ или събитие E ₂ “

Аксиома 1 на вероятността

Първата аксиома на вероятността казва, че при даден експеримент вероятността за настъпване на всяко събитие (E) трябва да бъде неотрицателно реално число. Това се изразява официално като:

Аксиома 1 представлява интуитивната идея, че е безсмислено да се говори за отрицателна вероятност . Той също така установява нулева вероятност като долна граница, която се приписва на невъзможно събитие. Последният официално се дефинира като всеки резултат (или набор от резултати), който не се съдържа в пробното пространство на експеримента.

Пример:

При хвърляне на зар само веднъж, примерното пространство ще се формира само от набора S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Първата аксиома гласи, че вероятността за получаване на някой от резултатите (4, например) трябва да бъде число, по-голямо от нула ( P(4)>0 ). От друга страна, вероятността резултатът да е 7, което не е част от пробното пространство, е нула ( P(7)=0 ).

Имайте предвид, че първата аксиома не посочва големината на вероятността от възможни събития, тоест не посочва каква трябва да бъде вероятността хвърлянето на зара да доведе до например 4. Тя само уточнява, че трябва да бъде някакво положително число..

Аксиома 2 на вероятността

Втората аксиома на вероятността казва, че за всеки експеримент вероятността за пробното пространство е 1 или формално:

Един прост начин да разберете аксиома 2 е, че вероятността някакъв резултат, какъвто и да е той, да бъде получен в експеримента, е 1.

Пример:

Както бе споменато по-горе, при хвърляне на монета има само два възможни резултата: глави или опашки, така че вероятността тя да излезе глави или опашки, според аксиома 2, е 1.

Ако първата аксиома задава долната граница на вероятността на нула, втората аксиома задава горната си граница на 1. Това е така, защото примерното пространство е определено събитие и следователно неговата вероятност трябва да бъде максималната възможна вероятност.

Аксиома 3 на вероятността

Ако събитията E ₁ , E ₂ , …, E _n нямат общи резултати (тяхното пресичане е празно множество), се казва, че те са взаимно изключващи се, тъй като появата на едното изключва появата на другото. Третата аксиома гласи, че обединената вероятност от взаимно изключващи се събития е равна на сбора от вероятностите за всяко отделно събитие . С други думи:

За най-простия случай само на две взаимно изключващи се събития (както в случая с хвърляне на монета), аксиома 3 се формулира, както следва:

Тази аксиома формализира идеята, че колкото повече възможни резултати има за дадено събитие, толкова по-вероятно е то. Това следва от факта, че обединението на две взаимно изключващи се събития трябва по дефиниция да съдържа сумата от всички резултати в двете събития.

Приложение на аксиомите

В допълнение към гореспоменатите примери, трите аксиоми могат да се използват за конструиране и доказване на полезни теореми в теорията на вероятностите. Един прост пример е да се определи връзката между вероятностите за всяко събитие и неговото допълнение.

Ако E е някакво събитие, тогава неговото допълнение (представено от E ^c ) се дефинира като събитието, че се случва нещо друго освен E , или, което означава същото, че E не се случва . Това определение има две последици:

• Че E и E ^c се изключват взаимно.
• Обединението между E и E ^c води до примерното пространство, S ( E ∪ E ^c = S ).

Тъй като те са взаимно изключващи се, въз основа на третата аксиома, имаме това

Но тъй като това обединение води до S , тогава

Сега, прилагайки втората аксиома , това става

който се пренарежда като

И накрая, тъй като знаем от първата аксиома , че P(E ^c ) трябва да е неотрицателна величина, заключаваме, че вероятността всяко събитие да се случи винаги ще бъде равна на 1 минус вероятността събитието да не се случи, и че всяка от двете вероятности трябва да има стойност в интервала [0, 1].

Източници

Devone, JL (1998). Вероятност и статистика за инженерството и науките (4-то издание). Международни издатели Thomson.