Tabla de Contenidos
Факториелът на положително цяло число е произведението на всички цели числа, по-малки или равни на него, и се обозначава със символа !. Например факториелът на числото 4 се изразява като 4! и е равно на 24:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
По-специално факториелът на числото 0 (тоест 0!) се дефинира равен на 1, въпреки че тази стойност не произтича от дефиницията на факториел, който е валиден само за всяко цяло число, по-голямо или равно на 1. Защо факториелът на числото 0 се определя като 1, ако има математическо правило, което казва, че всяко число, умножено по нула, е равно на нула?
Отвъд объркването, което тази ситуация може да породи, трябва да се отбележи, че стойността на факториела на числото 0 е дефиниция ; тоест, математически е определено, че 0! = 1. Нека видим по-долу основите на това определение.
Дефиницията на факториела на числото 0
Както вече споменахме, първото нещо, което трябва да се отбележи, е, че присвояването на стойност 1 на факториела на числото 0 (0! = 1) е дефиниция, въпреки че по принцип това не води до задоволително обяснение, ако само погледнем при дефиницията на факториел.
Спомнете си, че дефиницията на факториел на положително цяло число е произведението на всички цели числа, равни или по-малки от него. Обърнете внимание, че тази дефиниция също предполага, че факториелът е свързан с всички възможни комбинации от числа, по-малки или равни на числото, което разглеждаме.
Числото 0 няма положителни цели числа по-малко от него, но все още е число и има само една възможна комбинация от този конкретен набор от числа, съставен само от числото 0. Тази комбинация е едно, точно както в случая с числото 1.
За да се разбере по-добре математическото значение на това определение, трябва да се вземе предвид, че факторната концепция включва и друга информация, съдържаща се в числото, по-специално възможните пермутации на неговите фактори. Дори в празното множество, представено с числото 0, може да се мисли, че има начин да се подреди това множество.
Пермутации и факториели
Концепцията за факториел се използва в клона на математиката, наречен комбинаторика, дисциплина, в която се дефинира концепцията за пермутация на елементи. Пермутацията е специфичен и уникален ред на елементите, които съставят определен набор. Например, има шест възможни пермутации на множеството {1, 2, 3}, съдържащо три елемента, тъй като можем да напишем тези елементи по следните шест начина:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Можем също да изразим тази концепция чрез факторен израз на три, 3! = 6, което ни позволява да изчислим пълния набор от пермутации на група от 3 елемента. По същия начин има 24 пермутации (4!=24) на набор с четири елемента и 120 възможни пермутации (5!=120) на набор с пет елемента. И така, алтернативен начин на мислене за понятието факториел е да оставим настрана идеята, че то е свързано с естествено число n и да мислим, че n ! е броят на пермутациите на набор, състоящ се от n елемента.
Нека да видим някои примери, разглеждайки сега тази нова концепция за факториела на число. Набор, състоящ се от два елемента, има две възможни пермутации: {a, b} може да бъде подреден като (a, b) или като (b, a). Това е свързано с дефиницията на факториел на числото 2; 2! = 2. Множество, съставено от един елемент, {a}, има само една възможна пермутация и е свързано с дефиницията на факториел на числото 1; 1! = 1.
Нека сега се върнем към случая на факториел от 0. Множеството, интегрирано от нулеви елементи, се нарича празно множество. За да намерим стойността на факториела от 0, можем да се запитаме по колко начина можем да подредим набор без елементи? И докато един от отговорите може да е, че няма нищо за поръчка в празно множество, ние също имаме алтернативата, че дори празното е множество, така че отговорът може да бъде 1 и следователно 0! = 1.
Други приложения на факториела
Както вече казахме, факторната концепция се използва в комбинаториката и този математически инструмент се използва за извършване на изчисления във формули, които изразяват пермутации и комбинации от групи от елементи. Въпреки че тези приложения не предоставят пряка обосновка за присвояването на 1 на факториела на числото 0, може да се разбере защо е дефинирано по този начин.
Концепцията за комбинация от група елементи се отнася до броя на подгрупите, които могат да бъдат получени с тях, независимо от реда, в който се разглеждат. Например наборът {1, 2, 3} има само едно съединение, ако се вземат три елемента, независимо от реда. Но ако ги вземем по два елемента, ще имаме три възможни комбинации, {1, 3}, {2, 3} и {1, 2}, точно както ако ги вземем по един елемент, {1}, {2} и {3}. Общата формула за изчисляване на броя комбинации без повторение на определен набор от n елемента, взети в подгрупи от p елемента, е C ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.
Ако използваме тази формула, за да определим броя на комбинацията от три елемента, взети три, виждаме, че резултатът трябва да бъде 1, изразено чрез C (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, така че е необходимо да се дефинира 0! = 1, за да има смисъл математическият израз.
По същия начин има и други ситуации, които налагат факториелът на числото 0 да се дефинира като 1, 0! = 1, като част от общата концепция в развитието на математиката, която показва, че когато се изграждат нови идеи и се включват нови дефиниции, трябва да има съвместимост с вече съществуващи структури.
Библиография
Нулев факториел или 0!. Хан Академия .
Има ли факториел 0? YouTube канал Drifting .
