Формули за изчисляване на площи и обеми на геометрични фигури

Формулите за изчисляване на площта и обема на сфера са

• Повърхност = 4πr ²
• Обем = (4/3)πr ³

2. Изчисляване на повърхнина и обем на конус

Конусът е пирамида с кръгла основа, чиито наклонени страни се срещат в централна точка на оста на конуса, права, перпендикулярна на равнината на основата, която минава през центъра на обиколката, която съставлява основата на конуса, както е показано Можете да видите на фигурата по-горе. За да се изчисли площта на неговата повърхност или нейния обем, трябва да се знае радиусът на основата r и дължината на страната s . Ако стойността на дължината на страната s не е известна , тя може да се изчисли, като се знае височината на конуса h (вижте фигурата по-горе).

s = √ (r ² + h ² )

Общата повърхност на конуса може да се изчисли като сумата от площта на основата и площта на страничната повърхност.

• Основна площ: πr ²
• Странична площ: πrs
• Обща площ = πr ²   + πrs

За да изчислите обема на конус, имате нужда само от радиуса на основата и височината.

• Обем = 1/3 πr ² h

3. Изчисляване на повърхнина и обем на цилиндър

Изчисленията на повърхността и обема са по-лесни за цилиндър, отколкото за конус. Цилиндърът има кръгла основа и линиите, които при въртене образуват страничната повърхност, са успоредни и перпендикулярни на основата. За да се изчисли неговата повърхност или обем, са необходими само радиусът r  и височината h .

Както в случая с конуса, площта на повърхността е сумата от повърхностите, които го съставят; сумата от площта на горната основа и долната основа (които са равни) и площта на страничната повърхност.

• Повърхност = 2πr ²  + 2πrh
• Обем = πr ^2h

4. Изчисляване на повърхнина и обем на правоъгълна призма

Правоъгълник, разгънат в три измерения, се превръща в правоъгълна призма; Или просто кутия. Когато всички страни на правоъгълна призма са равни, призмата се превръща в куб. Следователно както площта, така и обемът се изчисляват по едни и същи формули. За това е необходимо да се знае големината на трите страни на призмата; a, b и c, в горната фигура.

• Площ = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• обем = abc

Ако имаме куб със страна a , предишните формули стават

• Площ на куб = 6a ²
• Обем на куб = a ³

5. Изчисляване на повърхнина и обем на пирамида с квадратна основа

В този случай виждаме формулите, използвани за изчисляване на площта и обема на пирамида с квадратна основа и равностранни триъгълници по лицата. За изчисленията е необходимо да знаете страната на квадрата на основата b и височината h , това е разстоянието от центъра на квадрата на основата до върха, както е показано на фигурата по-горе. И s ще бъде височината на всеки равностранен триъгълник, който съставлява лицата на пирамидата, която може да се изчисли със следната формула.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Както в предишните случаи, площта на повърхността е сумата от площта на основата плюс площта на четирите равностранни триъгълника на лицата.

• Повърхност = 2bs + b ²
• Обем = (1/3) b ^2h

6. Изчисляване на повърхнина и обем на равнобедрена триъгълна призма

За да приложите формулите за изчисляване на площта на повърхността и обема на равнобедрена триъгълна призма, са необходими три параметъра, съгласно фигурата по-горе; основата на равнобедрения триъгълник b , височината на триъгълника h и дължината на призмата l . Определенията се допълват със страната s на равнобедрения триъгълник. Страната s на триъгълника може да се изчисли от другите данни на триъгълника със следната формула.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Формулите за изчисляване на площта и обема са както следва.

• Площ = bh + 2 l s + l b
• Обем = (1/2)bh l

Ако искате да изчислите повърхността и обема на призма, която не е равнобедрен триъгълник, можете да приложите следната процедура. Можете да определите площта A и периметъра P на основата и да използвате следните формули.

• Повърхност = 2A + P l
• Обем = A l

7. Изчисляване на повърхнина и дължина на кръгов сектор

Горната фигура показва сектора на окръжност с радиус r , определен от ъгъла θ , който може да бъде изразен в градуси или радиани. За да се изчисли площта на кръговия сектор и дължината на дъгата, е необходимо ъгълът θ да бъде изразен в радиани, така че ако е изразен в градуси, преобразуването трябва да се извърши по следната формула.

ъгъл θ в радиани = (ъгъл θ в градуси) π /180

Площта на кръговия сектор и дължината на дъгата се изчисляват по следните формули.

• Площ = (θ/2) r ²  θ в радиани
• Arc L = θr   θ в радиани

Площта и обиколката на окръжност е частен случай на сектор, който възниква, когато ъгълът θ е равен на 2 π . И така, площта и обиколката на кръг се изчисляват по следния начин.

• Площ на кръг = π r ² 
• Обиколка = 2 π r

8. Изчисляване на площта на елипса

Елипса, известна също като овал и която може да бъде идентифицирана като удължен кръг, е набор от точки, чиято сума от разстояния до две фиксирани точки, наречени фокуси, е постоянна. На фигурата по-горе фокусите са представени от две точки. Една елипса може да бъде определена от нейните две полуоси, както е показано на фигурата; голямата полуос a и малката полуос b . Площта на елипса се изчислява по следната формула.

• Площ = πab

9. Изчисляване на повърхнина и периметър на триъгълник

Триъгълникът е една от най-простите геометрични фигури и изчисляването на периметъра е лесно, като знаете дължината на всяка от неговите страни a, b и c . 

• периметър = a + b + c

За да се изчисли площта на триъгълника, е необходима дължината на една от страните му, b  например на фигурата по-горе, и височината h  , съответстваща на тази страна, определена като дължината на сегмента, изтеглен от перпендикуляра на срещуположния връх настрани b . Площта на триъгълника се изчислява като

• Площ = (1/2)bh

10. Изчисляване на повърхнина и периметър на успоредник

Паралелограмът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни, както е показано на фигурата по-горе. Тъй като противоположните страни са успоредни, дължината на противоположните страни ще бъде равна. В случая на фигурата това са страните с дължина a и b . Периметърът на успоредника е сборът от неговите страни.

• Периметър на успоредник = 2a + 2b

За да се изчисли площта на успоредник, е необходима височина h ; разстоянието между две успоредни страни. Площта може да се изчисли с височината и страната, съответстващи на тази височина, b  в случая на фигурата.

• Площ на успоредник = bh

Правоъгълникът е частен случай на успоредник; когато височината h е равна на страната a или, което е същото, когато съседните страни са перпендикулярни, успоредникът е правоъгълник и формулите за периметър и площ са както следва.

• Периметър на правоъгълник = 2a + 2b 
• Площ на правоъгълник = ab

На свой ред квадратът е частен случай на успоредник и правоъгълник; когато страни a и b са равни и съседните страни са перпендикулярни. Формулите за периметър и площ на квадрат със страна a са както следва.

• периметър на квадрат = 4а 
• Площ на правоъгълник = a ²

11. Изчисляване на повърхнина и периметър на трапец

Трапецът е четириъгълник, който има две противоположни страни, които са успоредни. Следователно дължината на четирите му страни е различна, в горната фигура b , B , c и d , и за да се изчисли неговият периметър е необходимо да се знаят четирите стойности. Периметърът на трапец се изчислява чрез събиране на четирите стойности.

• Периметър = b + B + c + d

За да се изчисли площта на трапец, е необходимо да се знае височината h  , която може да се наблюдава в горната фигура и това е разстоянието между двете успоредни страни.

• Площ = (1/2) (b + B)h

12. Изчисляване на повърхнина и периметър на правилен шестоъгълник

Многоъгълник с шест равни страни е правилен шестоъгълник. Дължината на всяка страна r е равна на разстоянието на всеки връх от центъра на шестоъгълника. Апотемата ( a в горната фигура) е най-малкото разстояние от центъра на шестоъгълника до една от страните; е височината на всеки равностранен триъгълник, който съставлява шестоъгълника. Периметърът на правилен шестоъгълник се изчислява като

• периметър = 6r

Докато за изчисляване на площта на правилен шестоъгълник се използва следната формула

• Площ = (3√3/2)r ²

13. Изчисляване на повърхнина и периметър на правилен осмоъгълник

Правилният осмоъгълник е многоъгълник с осем равни страни. Ако дължината на всяка страна на осмоъгълника е r, периметърът на правилния осмоъгълник се изчислява като

• периметър = 8r

Докато за изчисляване на площта на правилен осмоъгълник се използва следната формула

• Площ = 2(1+√2)r ²

Фонтан

Wenninger, Magnus J. Models of Polyhedra Cambridge University Press, 1974.