Остроъгълни триъгълници и тъпоъгълни триъгълници

Триъгълникът е затворена фигура, съставена от три отсечки, които се пресичат в краищата си. Всеки триъгълник има три върха (срещните точки на сегментите), три страни (сегментите) и три вътрешни ъгъла (образувани във всеки връх). Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е равен на 180∘. Това се нарича теорема за сумата на триъгълника.

Триъгълниците могат да бъдат класифицирани според размера на техните ъгли в:

• остроъгълни триъгълници.
• Тъпи триъгълници.
• Правоъгълни триъгълници.

Триъгълниците обаче могат да бъдат класифицирани и според броя на страните им в:

• Скален триъгълник.
• Равнобедрен триъгълник.
• Равностранен триъгълник.

В тази статия ще обясним какво представляват остроъгълните и тъпите триъгълници и как се различават.

елементи от триъгълници

Основните елементи на триъгълника са:

1. върхове. Те са пресечните точки между двете страни. Триъгълникът на изображението има 3 върха (A, B и C).
2. страни. Те са отсечките, които свързват два последователни върха на триъгълника и ограничават неговия периметър. Триъгълникът на изображението има 3 страни (a, b и c).
3. вътрешни ъгли. Те са ъглите, образувани от две последователни страни във върха, където се събират. Има 3 вътрешни ъгъла (α, β и γ). Сборът от вътрешните ъгли на триъгълника е равен на 180°.
4. външни ъгли. Това е ъгълът на едната страна с външното продължение на следващата страна. Триъгълникът в изображението има 3 външни ъгъла (θ). Сборът от външните ъгли винаги е равен на 360°.
5. Надморска височина на триъгълник. Надморската височина или височината на триъгълник (h) е линеен сегмент, перпендикулярен на едната страна, който започва от противоположния връх на тази страна (или нейното продължение). Може да се разбира и като разстоянието от едната страна до противоположния връх. Триъгълникът има три височини в зависимост от върха, който е избран като референтен. Трите височини се пресичат в точка, наречена ортоцентър .

остроъгълни триъгълници

Остроъгълен триъгълник е този, чиито три страни и три ъгъла са по-малки от 90º. Мярката на трите вътрешни ъгъла на остроъгълния триъгълник е между 0° и 90°, но сумата от всички вътрешни ъгли винаги е 180 градуса. Триъгълниците могат да бъдат класифицирани въз основа на ъгли и страни. Остроъгълният триъгълник е триъгълник, който се класифицира въз основа на мярката на ъгъла.

Видове остроъгълни триъгълници

Както знаем, триъгълниците могат да бъдат класифицирани въз основа на страни и ъгли. Остроъгълният триъгълник също може да се класифицира както следва:

1. Остър равностранен триъгълник. Известен е още като равностранен триъгълник, тъй като трите вътрешни ъгъла на остър равностранен триъгълник са с размери 60°.
2. Равнобедрен остроъгълен триъгълник. В този триъгълник две страни и два ъгъла винаги имат еднаква мярка.
3. Скален остроъгълен триъгълник. В този триъгълник и трите страни и вътрешните ъгли са неравни. Всички вътрешни ъгли са под 90 градуса.

Изображението по-горе е пример за мащабен остроъгълен триъгълник с 3 неравни страни и ъгли. Защото стойността на трите ъгъла е по-малка от 90 градуса, а сумата им е 180 градуса.

Свойства на остроъгълния триъгълник

Има някои важни свойства, които отличават остроъгълния триъгълник от другите видове триъгълници. Това са:

• Според свойството Angle Sum, сумата от трите вътрешни ъгъла на остър триъгълник е 180 градуса.
• Триъгълникът не може да бъде едновременно правоъгълен и остроъгълен триъгълник.
• Свойството Ъгъл на остър триъгълник казва, че вътрешните ъгли на остър триъгълник винаги са по-малки от 90° или между (0° до 90°).
• Триъгълникът не може да бъде едновременно остроъгълен и тъп триъгълник.

Формули за остроъгълен триъгълник

Има две основни формули за остроъгълен триъгълник и те са дадени по-долу:

• Площ на остър триъгълник.
• Периметърът на остроъгълен триъгълник.

Площ на остър триъгълник

Площта на остроъгълен триъгълник се дава от площ = (1/2) × b × h квадратни единици. Тук „b“ се отнася за основата и „h“ за височината на остроъгълен триъгълник.

Важно е да се има предвид, че ако са дадени всички страни на остроъгълния триъгълник, площта на остроъгълния триъгълник може лесно да се изчисли с помощта на формулата на Heron, дадена по-долу:

Тук a, b и c са трите страни, а s означава половин периметър, който може да се изчисли като S = (a + b + c) / 2

периметър на остроъгълен триъгълник

Периметърът на остроъгълен триъгълник се определя като сбор от трите страни и се дава от P = (a + b + c) единици. Тук a, b и c са страните на остроъгълния триъгълник. По същия начин периметърът дава общата дължина, необходима за образуване на остроъгълен триъгълник. В ежедневието ние използваме периметъра, за да начертаем или направим остроъгълен триъгълник с връв, тел, молив и др.

тъпоъгълни триъгълници

Тъпоъгълният триъгълник или тъпоъгълният триъгълник е вид триъгълник, в който един от ъглите на върха е по-голям от 90°. Един от върховете на един тъп триъгълник е тъп, а останалите ъгли са остри , т.е. ако един от ъглите е по-голям от 90°, сумата от другите два ъгъла е по-малка от 90°. Страната срещу тъпия ъгъл се счита за най-дългата страна. Например в триъгълник ABC трите страни на триъгълника са с размери a, b и c, като c е най-дългата страна на триъгълника, тъй като това е страната, противоположна на тъпия ъгъл. Следователно триъгълникът е триъгълник с тъп ъгъл, където a ² + b ² < c ² .

Видове тъпоъгълни триъгълници

Тъпият триъгълник може да бъде мащабен триъгълник или равнобедрен триъгълник, но никога няма да бъде равностранен. Това е така, защото равностранен триъгълник има равни страни и ъгли и всеки ъгъл е с размери 60°. По същия начин триъгълникът не може да бъде едновременно тъп и правоъгълен триъгълник, тъй като правоъгълният триъгълник има един ъгъл от 90°, а другите два ъгъла са остри. Следователно правоъгълният триъгълник не може да бъде тъп триъгълник и обратното. Центърът и центърът на вписване са вътре в тъпоъгълния триъгълник, докато центърът на описаната около него и ортоцентърът са извън триъгълника.

Триъгълникът отдолу има ъгъл, по-голям от 90°. Затова се нарича тъп триъгълник.

Формула за тъп триъгълник

Има различни формули за изчисляване на периметъра и площта на тъп триъгълник. Нека се запознаем с всеки един:

• Периметър на тъп триъгълник . Това е сборът от мерките на всички негови страни. Неговата формула: Периметър на тъпоъгълния триъгълник = (a + b + c) единици.
• Площ на тъп триъгълник. За да намерим площта на тъп триъгълник, изграждаме линия, перпендикулярна на външната страна на триъгълника, където получаваме височината. Тъй като тъпият триъгълник има ъглова стойност, по-голяма от 90°. След като получим височината, можем да намерим площта на тъп триъгълник, като приложим формулата, посочена по-долу.

В тъпоъгълния триъгълник на изображението ΔABC знаем, че триъгълникът има три височини от трите върха до противоположните страни. Височината или височината на острите ъгли на тъп триъгълник е извън триъгълника. Разширяваме основата, както е показано и определяме височината на тъпоъгълния триъгълник.

Площ на ΔABC = 1/2 × h × b, където BC е основата, а h е височината на триъгълника. Така формулата е: Площ на тъп триъгълник = 1/2 × основа × височина.

Важно е да се има предвид, че площта на тъп триъгълник може да се получи и с помощта на формулата на Heron, използвана в остроъгълния триъгълник.

Свойства на тъпоъгълните триъгълници

Всеки триъгълник има свои собствени свойства, които го определят. Тъпият триъгълник има четири различни свойства. Това са:

1. Най-дългата страна на триъгълника е страната, противоположна на тъпия ъгъл.
2. Триъгълникът може да има само един тъп ъгъл. Знаем, че сборът от ъглите на триъгълник е равен на 180°. Следователно триъгълникът не може да има два тъпи ъгъла, тъй като сборът от всички ъгли не може да надвишава 180 градуса.
3. Сборът от другите два ъгъла на тъп триъгълник винаги е по-малък от 90°. И така, току-що научихме, че когато един от ъглите е тъп, сумата от другите два ъгъла е по-малка от 90°.
4. Центърът на описаната около него и ортоцентърът на тъп триъгълник лежат извън триъгълника. Ортоцентърът (H), който е пресечната точка на всички височини на триъгълник, лежи извън тъп триъгълник. Така също центърът на окръжността (O), който е средата на всички върхове на триъгълника, е извън тъп триъгълник.

Разлика между остър и тъпоъгълен триъгълник

Основната разлика между остроъгълните и тъпоъгълните триъгълници е свързана с мерките на техните ъгли. Така, докато в тъпите ъгли един от ъглите на върха е по-голям от 90°, в остроъгълните триъгълници всички страни и ъгли са по-малки от 90°.

Фонтан

Баредо Бланко, Д. (sf). Геометрията на триъгълника .