Tabla de Contenidos
Ротационният инерционен момент или просто ротационната инерция е скаларна физическа величина, типична за всеки обект, който има маса и измерва колко трудно е да го накараме да се върти около определена ос на въртене. Това е ротационният еквивалент на линейната инерция и като такова е количество, което изразява трудността при промяна на скоростта на обект, независимо дали е в покой или в движение, с тази разлика, че в този случай става дума за ъглова скорост.
Тази величина е от голямо значение при описанието на ротационното движение, тъй като ни позволява да разберем разликата в поведението на телата, които, въпреки че имат еднаква външна форма и маса, се държат по различен начин, когато са подложени на въртящи сили, които са склонни да ги направят завъртане. Тази разлика възниква от разликата в разпределението на масата на тялото около оста на въртене. Горното предполага, че едно и също тяло може да има различни ротационни инерционни моменти в зависимост от позицията си спрямо оста на въртене, което води до различни формули за изчисляване на инерционния момент.
След казаното по-горе, става ясно, че има толкова много формули за намиране на инерционния момент, колкото е възможно форми на съществуващи обекти и оси на въртене. Въпреки това, има някои частни случаи на правилни геометрични форми, които се въртят около оси, които възникват естествено на практика. В следващите раздели ще видим най-важните формули за определяне на ротационния инерционен момент на тези тела.
Формула за инерционния момент на точкова частица
Инерционният момент на точковата частица съответства на първоначалната дефиниция на това физическо количество. Този израз идва от израза за кинетична енергия на въртене, когато е написан като ъглова скорост, w.
Да предположим, че имаме частица с маса m , която се върти около централна ос, както следва:
Кинетичната енергия на тази частица, подобно на всяка друга движеща се частица, се определя от половината от произведението между нейната маса и нейната скорост (големината на нейната скорост), повдигната на квадрат, т.е. 1/2 mv 2 . Въпреки това, ако единственото движение, което тази частица описва, е въртене около оста (няма транслация), можем да изразим линейната скорост на частицата като функция на нейната ъглова скорост, записвайки v = rω. По този начин кинетичната енергия, която в този случай е изключително ротационна кинетична енергия, се изразява като:
Където инерционният момент I на частицата се определя като:
В този израз m е масата на точковата частица, а r е радиусът на въртене или, което е същото, разстоянието от оста на въртене до частицата.
Формула за инерционния момент на съвкупност от точкови частици
Да предположим сега, че нямаме нито една частица, въртяща се около ос, а че имаме система, съставена от n частици, всяка с определена маса, m i , и всяка една се върти на разстояние r i от оста на въртене , като например системата от три частици, показана по-долу.
Ако искаме да изчислим общата кинетична енергия на тази система, ще трябва само да добавим кинетичните енергии на всяка от трите частици. Ако разширим тази идея до общия случай на n частици и приемем, че всички те се движат с еднаква ъглова скорост (защото се въртят заедно), тогава общата ротационна кинетична енергия на системата ще бъде дадена от:
Откъдето следва, че общият инерционен момент на система от n частици, които се въртят заедно около една и съща ос, всяка със собствена маса и собствен радиус на въртене, се дава от:
Тази формула работи както за точкови частици, така и за сферични частици с всякакъв размер, стига оста на въртене да е извън сферата. Ако това условие е изпълнено, тогава радиусът съответства на разстоянието между оста и центъра на сферата, а масата съответства на общата маса на сферата.
Интегрална формула на инерционния момент на твърди тела
Горната формула за инерционния момент се прилага за системи, образувани от точкови и дискретни частици. Въпреки това, той може да бъде разширен до твърди тела, които имат непрекъснато разпределение на масата, точно както се случва приблизително с макроскопичните тела.
В тези случаи изчисляването на инерционния момент се състои в разделяне на тялото на елементи с малка маса (Δm i ), всеки от които е разположен на разстояние r i от оста на въртене, и след това прилагане на предишното уравнение. Въпреки това, ако увеличим размера на елемента на масата до границата, където той става безкрайно малък елемент или разлика в масата (dm), тогава сумирането става интеграл, както е показано по-долу:
Това е общият израз за намиране на инерционния момент на всяко твърдо тяло, независимо от формата му или разпределението на масата му. В повечето случаи, за да се извърши интегрирането, масовият елемент, dm , се заменя с произведението на плътността на тялото, умножено по разликата в обема, dV . Това позволява извършването на интегриране върху целия обем на твърдото тяло, дори ако разпределението на масата не е равномерно (стига да се знае как се променя в зависимост от позицията).
В този случай интегралният израз на инерционния момент става:
След това ще представим резултата от интегрирането на предишния израз за различни твърди тела с правилни форми като пръстени, цилиндри и сфери, между другото. Във всички случаи, описани по-долу, размерите и масите на разглежданите тела са представени с главни букви, за да се разграничат от интеграционните променливи.
Формула за инерционния момент на тънък равномерен пръстен с радиус R около централната му ос
Един от най-простите случаи при интегриране на предишното уравнение е този на равномерен пръстен, който се върти около своя център на симетрия. Следната фигура показва този случай.
В конкретния случай, в който дебелината на пръстена е незначителна в сравнение с неговия радиус, можем да го разглеждаме като маса, разпределена по обиколка без дебелина, така че всички елементи на масата да са по същество с един и същи радиус, в този случай, R. Като се имат предвид тези условия, радиусът напуска интеграла, оставяйки само интеграла на диференциалната маса, dm, който е просто масата на пръстена, M. Резултатът е:
В този израз CM показва, че това е инерционният момент около неговия център на масата.
Формула за инерционния момент на твърда сфера с радиус R, въртяща се около центъра си
В случай на твърда сфера с радиус R и равномерна плътност, която се върти около който и да е от диаметрите си (ос, която минава през нейния център), като тази, показана по-долу, предишният интеграл може да бъде решен по различни начини, сред които са с помощта на сферична координатна система.
Резултатът от интегрирането в този случай е:
Формула за инерционния момент на сферична обвивка с вътрешен радиус R 1 и външен радиус R 2 около нейния център
Ако вместо твърда сфера е куха сфера или сферична обвивка с дебели стени, трябва да вземем предвид два радиуса, външен и вътрешен. Те са показани на следващата фигура.
В този случай решението е да се разглежда сферичната обвивка като сфера с радиус R2, от която сфера от същия материал е отстранена от нейния център, чийто радиус е R1. След определяне на масата, която би имала голямата сфера и тази на малката сфера, която е била изтеглена през плътността на оригиналната обвивка, инерциите на двете сфери се изваждат, за да се получи:
Формула за инерционния момент на тънка сферична обвивка с радиус R около центъра
В случай, че дебелината на сферичната обвивка е пренебрежимо малка в сравнение с нейния радиус или, което е същото, че R 1 е практически равно на R 2 , можем да изчислим инерционния момент, сякаш е повърхностно разпределение на масата, всичко това се намира на разстояние R от центъра.
В този случай имаме две възможности. Първият е да решите интеграла от нулата. Второто е да вземем предишния резултат, този на дебелата сферична обвивка, и да получим границата, когато R1 клони към R2. Резултатът е следният:
Формула за инерционния момент на тънък прът с дължина L около перпендикулярна ос през неговия център на масата
Когато имаме тънък прът, по същество можем да го разглеждаме като линейно разпределение на масата, независимо от формата на неговия профил (т.е. независимо дали е цилиндричен, квадратен или с друга форма). В тези случаи единственото, което има значение, е тестото да се разпредели равномерно по дължината на блатовете.
В този случай инерционният момент се изразява като:
Формула за инерционния момент на тънък прът с дължина L около перпендикулярна ос през единия край
Това е същият случай като горния, но с цялата лента, въртяща се около ос, перпендикулярна от единия край:
Тъй като масата на пръта е средно на по-голямо разстояние от оста на въртене, инерционният момент ще бъде по-голям. Всъщност той е четири пъти по-голям от предишния случай, както се вижда от следния израз:
Имайте предвид, че в този случай оста не минава през центъра на масата, така че индексът CM на символа на инерционния момент е пропуснат.
Формула за инерционния момент на плътен цилиндричен прът с радиус R около централната му ос
Този случай се решава по много прост начин с помощта на цилиндрична координатна система и разглеждане на цилиндъра така, сякаш е образуван от концентрични цилиндрични черупки с еднаква дължина, но с различни радиуси. Тогава радиусът се интегрира от r = 0 до r = R.
Резултатът от този процес е формулата за инерция на цилиндричен прът, която е:
Трябва да се отбележи, че тъй като този резултат не зависи от дължината на цилиндъра, същият израз може да се използва за случая на кръгъл диск.
Формула за инерционния момент на кух цилиндър с вътрешен радиус R 1 и външен радиус R 2 около централната му ос
Този случай е подобен на този на дебелата сферична обвивка. Прилага се, когато дебелината на обвивката или разликата между нейния външен и вътрешен радиус е в същия порядък като самите радиуси и следователно не можем да считаме, че масата е концентрирана върху повърхност. Напротив, трябва да вземем предвид, че това е триизмерно разпределение на масата по дебелината на черупката.
Както в случая с дебелата сферична обвивка, инерционният момент на кух цилиндър с вътрешен радиус R 1 и външен радиус R 2 може да се намери чрез директно интегриране или чрез изваждане на инерционния момент от цилиндъра, който беше изтеглен при отваряне на централния отвор, на инерционния момент на твърд цилиндър, който има същата плътност като черупката, като се използва формулата от предишния раздел за всяка от тези две инерции.
Резултатът от всяка от тези две стратегии е един и същ и е представен по-долу:
Както в предишния случай, тъй като този резултат не зависи от дължината на цилиндъра, можем да го използваме за изчисляване на инерционния момент на кръгъл диск с отвор в центъра, като например шайба или Blu-ray диск.
Формула за инерционния момент на тънка цилиндрична обвивка с радиус R около нейната централна ос
В случай, че имаме кух цилиндър като този, показан на следващата фигура, в който дебелината на цилиндричната обвивка е много малка в сравнение с радиуса на цилиндъра, можем да приемем, че масата е разпределена само върху повърхността с радиус R .
Както в другите случаи, можем да извършим директното интегриране, като използваме площната плътност на масата, или можем да оценим резултата от дебелата цилиндрична обвивка в границата, където R1 клони към R2. Резултатът е:
Отново отбелязваме, че този резултат не зависи от дължината. Това означава, че важи еднакво и за тънък обръч. Всъщност можем да проверим, че това е същият резултат, получен в участъка, съответстващ на тънък пръстен.
Формула за инерционния момент на правилна правоъгълна плоча около перпендикулярна ос през центъра й
И накрая, разгледайте случая на правоъгълна плоча, която се върти около ос, перпендикулярна на която и да е от нейните повърхности, минаваща през нейния център на масата, като тази, показана по-долу.
Резултатът от директното интегриране е:
Както в предишните случаи, този резултат не зависи от височината или дебелината на плочата, така че се отнася еднакво както за лист хартия, така и за твърд циментов блок.
Препратки
Кан Академия. (nd). Ротационна инерция (статия) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
OneClass. (2020 г., 6 октомври). OneClass: Започвайки с формулата за инерционния момент на пръта . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). Физика за учени и инженери със съвременна физика: 2: том I (пето издание). Хил Макгроу.
Snapsolve. (nd). Инерционният момент на куха дебела сферична обвивка . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
